Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии (стр. 7 из 11)
Таким образом, чтобы некоторая материальная модель позволяла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприятия учащихся. [19], [21]
4.Опорные задачи по теме «Многогранники».
Как уже говорилось, изучение многогранников является важнейшей частью курса стереометрии. Они дают богатый задачный материал как при изучении самой темы «многогранники», так и при изучении последующих тем стереометрии. Чаще всего в учебниках мало простых задач «на геометрические тела», поэтому на уроке удается решить всего 2-3 задачи средней трудности. Но они не всем ученикам под силу. Если ограничиваться только такими задачами, то многие ученики не смогут принимать активное участие в их решении, и будут отставать. Если же специально уделять на уроке время для задач, которые сводятся к одной-двум операциям и потому доступны для устного решения, то можно втянуть в работу всех учеников.
Устное решение задач «на многогранники» значительно улучшает пространственное мышление учащихся, которое играет важную роль в стереометрии. Поэтому подробнее остановимся именно на таких задачах.
Так как основные геометрические тела, изучаемые в школе, это призмы и пирамиды, то задачи, приведенные ниже, посвящены темам: «Призма. Пирамида. Их сечения. Площади полной и боковой поверхностей». Кроме того, задачи разбиты на типы: задачи на доказательство, на исследование, на построение, на вычисление.
Большое количество задач можно предлагать для решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых идет речь об одном и том же геометрическом теле. Но готовые рисунки сопутствуют далеко не всем задачам, поскольку само изготовление изображения является важной частью решения. Учитель может варьировать стратегию обучения. В одних случаях - начинать с готового рисунка, а в других демонстрировать рисунок (на откидной доске или на экране) только после того, как учащиеся сами сделали нужные изображения в своих тетрадях.
4.1 Задачи по теме «Призма».
Для простоты введем обозначения. Буквами а, b, cобозначим соответственно длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, буквой d- длину диагонали основания. Прописные буквы Н, D и Pсоответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру ее основания, а буквы s, Q , Sб и Sn- площадям: s – основания, Q - диагонального сечения, Sб - боковой поверхности, Sn - полной поверхности призмы. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания обозначаем греческой буквой γ.
1) Задачи на вычисление.
Четырехугольная призма.
Перед решением задач 1 и 2 следует повторить формулы для вычисления элементов куба со стороной a:
, 
, 
, 
.
Задача 3 и некоторые из следующих за ней, в которых речь идет о прямоугольном параллелепипеде, потребуют использования формул:
D2= а2+ b2+ с2 ,d2=a2 +b2 , s = аb, Q = d ∙ с, Sб= Р∙с.
1. Ребро куба равно а. Найдите: диагональ грани; диагональ куба; периметр основания; площадь грани; площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной и той же вершины. .
2. По рис. 4.1 и по данным элементам в табл. 1 найдите остальные элементы куба.
Таблица 1
| а | d | D | s | Q |
| 5 | ||||
| 14 | ||||
11  | ||||
| 196 | ||||
 |
3. По рис.4.2 и по данным элементам в табл. 2 найдите остальные элементы прямоугольного параллелепипеда.
Таблица 2.
| а | b | с | d | D | γ | s | Q |
| 3 | 4 | 5 | |||||
 | |||||||
| 5 | 12 | ||||||
| 7 | 24 | 45˚ | |||||
| 8 | 6 |  | |||||
| 15 | 17 | 17 |
4. Перпендикулярным сечением наклонной 4-угольной призмы является ромб со стороной 3 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если боковое ребро равно 12 см.5. Найдите боковую поверхность наклонного параллелепипеда с боковым ребром 32 см и смежными сторонами перпендикулярного сечения 10 см и 8 см.
6. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 3 см. Высота призмы - 5 см. Найдите: диагональ основания; диагональ боковой грани; диагональ призмы; площадь основания; площадь диагонального сечения; площадь боковой поверхности; площадь поверхности призмы.
7. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна -32 см, а площадь поверхности 40 см. Найдите высоту призмы.
Решение. Площадь основания равна S=
(см2), сторона основания - 2 см, периметр основания Р = 8 см, а высота призмы 
(см2).Треугольная, шестиугольная и n-угольная призмы.
Перед решением задач целесообразно повторить формулы; Sб = РН и Sп = 2Sб + 2s для произвольной призмы, а также формулы:
Р = 3а, s =
- для правильной треугольной иР = 6а, s =
-для правильной шестиугольной призмы со стороной основания а.8. Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны: 2 см, 3 см и 4 см. Боковая поверхность призмы - 45 см'. Найдите ее боковое ребро.
Решение. В перпендикулярном сечении призмы - треугольник (рис. 4.3), периметр которого 2 + 3 + 4 = 9 (см), поэтому боковое ребро равно 45 : 9 = 5 (см).9. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если известно, что площадь сечения, проходящего через средние линии оснований, равна 25 см'.
Решение. В сечении - прямоугольник, у которого одна сторона равна боковому ребру, а другая - половина стороны основания (рис. 4.4). Следовательно, его площадь в 2 раза меньше площади боковой грани. Итак, площадь боковой грани 50 см', а боковой поверхности – 50 ∙ 3 = 150 (см').
10. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 12 см. Вычислите: площадь основания; площадь боковой поверхности; площадь поверхности; площадь сечения, проведенного через медиану основания и боковое ребро, которые проходят через одну вершину основания.
11. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь боковой поверхности 12 см'. Найдите высоту.
12. Найдите неизвестные элементы правильно треугольно й призмы по элементам, заданным в табл.3.
| а | Н | Р | Sб | Sп |
| 6 | 90 | |||
 | 6 | |||
| 15 | 90 | |||
| 12 | 144 | |||
| 108 | 12б |
13. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, если дана площадь Q большего диагонального сечения. 
Решение. Площадь большего диагонального сечения (рис. 4.5) Q=2aH, aH= 
. Площадь боковой поверхности равна 6∙Q = 3Q.14. Через две неравные диагонали основания правильной 6-угольной призмы проведены диагональные сечения. Найдите отношение их площадей.
Решение. Отношение площадей диагональных сечений (рис. 4.5-4.6) равно отношению неравных диагоналей правильного 6-угольника, сторона которого а: S1,: S2 = 2а : а
= 2 : .15. По элементам, данным в табл. 4, найдите неизвестные элементы правильной шестиугольной призмы.
Таблица 4
| а | Н | Р | Sб | Sп |
| 4 | 7 | |||
| 6 | 720 | |||
| 5 | 18 | |||
| 20 | 240 | |||
| 12 | 144 |
16. В правильной n-угольной призме проведена плоскость под углом 60˚ к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы. Площадь основания равна 50 см2. Найдите площадь сечения.