Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии (стр. 9 из 11)
8. Площадь боковой поверхности пирамиды, в основании которой лежит трапеция, равна 2Q. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы. Найдите сумму площадей боковых граней, проходящих через непараллельные стороны трапеции.
Ответ: Q.
9. В основании пирамиды лежит ромб. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные углы. Площадь одной из боковых граней равна Q. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ: 4Q.
10. Вычислите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, если известно, что ее боковое ребро. равное а. со стороной основания составляет угол 60°
Ответ:
11. Дана правильная треугольная пирамида, у которой а - сторона основания, k- апофема, P - периметр основания, S1 - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды. Заполните табл. 5.
Таблица 5
| № | а | k | Р | S1 | S |
| 1 | 5 | 75 | |||
| 2 | 24 | 24 | |||
| 3 | 18 | 297 | |||
| 4 | 45 | 315 | |||
| 5 | 198  | 202 |
Указание. Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу.
Перед решением необходимо повторить и записать на доске формулы:
, P=3a, S=S1+S2 , S2=
(S2 - площадь основания пирам иды.)12. Дана правильная четырехугольная пирамида. у которой а - сторона основания, k- апофема, P- периметр основания, S1 - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды.
Таблица 6
| № | а | k | р | S, | S |
| I | 6 | 12 | |||
| 2 | 13 | 689 | |||
| 3 | 16 | 288 | |||
| 4 | 44 | 396 | |||
| 5 | 352 | 416 |
Указание. Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу.
Перед решением следует повторить и записать на доске формулы:
,P=4a, S=S1+S2 , S2=a2(S2 - площадьоснованияпирамиды.)
2)Задачи на исследование.
1. Сколько вершин, ребер и граней имеет n-угольная пирамида?
Ответ: n+ 1 вершин. n+ 1 граней, 2п ребер.
2. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?
Решение. Плоские углы при вершине пирамиды равны 60°, так как каждая боковая грань - равносторонний треугольник. Следовательно, боковых граней меньше, чем 360°: 60° = 6. т.е. в основании может быть равносторонний треугольник, квадрат или пятиугольник.
3. В каких пределах находится плоский угол α при вершине правильной n-угольной пирамиды. если n= 3, 4, 5, 6?
4. У треугольной пирамиды все боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находиться на одной из граней?
Ответ: может, если в основании прямоугольный треугольник.
5. Сравните термины: «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же?
6. Боковые ребра пирамиды равны. Может ли ее основанием быть: а) прямоугольная трапеция, б) ромб?
Ответ: а) не может, поскольку такую трапецию нельзя вписать в окружность; б) может только в случае, если основание - квадрат.
7. При каком соотношении в правильной треугольной пирамиде между стороной основания а и боковым ребром bее можно построить?
Ответ:
3)Задачи на доказательство.
1. Докажите, что число плоских углов в n-угольной пирамиде делится на 4.
2. Если в правильной треугольной пирамиде высота Н равна стороне основания а, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60°. Верно ли это утверждение?
Решение. Высота пирамиды проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около основания, α - искомый угол,
tgα =
= 
= , α=60°.3. Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».
Решение. Основание пирамиды - правильный многоугольник. Так как боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр основания, следовательно, пирамида - правильная.
4. Доказать, что сумма площадей проекций боковых граней пирамиды на основание может быть больше площади основания.
Ответ: может, если высота пирамиды не
проходит через основание пирамиды.
5.. Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.
Решение. Половина диагонали квадрата является катетом в прямоугольном треугольнике, этот катет равен
,а боковое ребро - гипотенуза - равно 7 см. Получается, что катет больше гипотенузы.6. Доказать, что в правильной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α меньше угла наклона боковой грани к плоскости основания β.
4) Задачи на построение.
1. Постройте два изображения одной пирамиды, одно - имеющее наибольшее число видимых ребер, другое - наименьшее число видимых ребер.
Указание. Вид со стороны вершины, все ребра видимые. Вид со стороны основания, видны только ребра основания.
2. В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 4.14) апофема образует с плоскостью основания угол 1. Обозначьте этот угол на рисунке.3. На рис. 4.15 изображена пирамида РАВС, у которой PH 
АВС, PK. ВС, TE РВС, Е
PBC.Верен ли чертеж?Решение. По условию PH АВС, PK ВС, т.е. по теореме о трех перпендикулярах HK ВС, и PHK PBC. Так как, опять же по условию, TE РВС, то отрезок ТЕ либо параллелен плоскости РНК, либо принадлежит ей. В любом случае чертеж неверен.
4. На рис. 4.16 изображена пирамида КАBCD. Через точку М, М
АВК, провести прямую, параллельную BD. 
Решение. Проведем через прямую BDи данную точку М плоскость. Она пересечет грань АВК по прямой ВЕ (Е 
КА), а грань ADKпо прямой ED. В построенной плоскости BEDпроведем через точку М прямую параллельно BD.5. Постройте точку пересечения прямой МН с плоскостью основания пирамиды SABCD(рис. 4.17).
6. В основании треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны, лежит прямоугольный треугольник (рис. 4.18). Постройте высоту пирамиды.7. Через точку М на плоскости α (рис. 4.19) проведена прямая, которая пересекает грань АКС пирамиды КАВС в точке Н. Какую еще грань пересечет эта прямая?
8. Постройте многогранник, имеющий 11 ребер.
Указание. Четырехугольная пирамида имеет 8 ребер, если у нее «срезать» угол при основании, добавится 3 ребра. Всего у многогранника будет 11 ребер. [25], [26], [8], [12], [13]
Заключение
Целью данной работы было рассмотрение особенностей методики изучения темы «Многогранники» в курсе стереометрии 10-11 классов. В связи с чем были выполнены следующие задачи: были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности: общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном. Были рассмотрены также различные средства наглядности, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы.