· усвоить систематизированные сведения о пространственных формах;
· научиться проводить аналогию плоскими и пространственными конфигурациями, видеть общность и различие свойств аналогичных структур на плоскости и в пространстве, использовать планиметрические сведения для описания и исследования пространственных фигур;
· научиться иллюстрировать и моделировать проекционным чертежом пространственные формы, решать позиционные задачи (в частности, задачи на сечения) на проекционном чертеже;
· решать задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов тел, на вычисление линейных и угловых элементов пространственных конфигураций;
· решать задачи на доказательство;
· овладеть набором приемов, часто применяемых для решения стереометрических задач на вычисление и доказательство.
Уровень обязательной подготовки по теме «Объемы многогранников» ограничивается следующими требованиями:
· уметь распознавать на моделях и по описанию основные пространственные тела (призма, пирамида), указывать их основные элементы, узнавать эти формы в окружающих предметах;
· уметь иллюстрировать условие стереометрической задачи либо чертежом, либо моделью;
· уметь вычислять значение геометрических величин (длин, площадей, объемов), применять изученные формулы;
· уметь решать несложные задачи на вычисление с использованием изученных свойств и формул (свойства параллельности прямых и плоскостей, многогранников и тел вращения).
В содержание материала по теме «Объемы многогранников» входят разделы: «Объем прямоугольного параллелепипеда». «Объемы прямой призмы и цилиндра». «Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса». «Объем шара и площадь сферы». «Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора».
Это обязательный минимум, которым должны овладеть учащиеся, изучая тему «Объемы многогранников».
§ 2 Анализ учебников геометрии 10-11 классов
Исходя из требований программы, различные авторские коллективы предлагают ряд учебников геометрии 10-11 классов. Рассмотрим некоторые из них.
Учебник [7] является продолжением и развитием учебника для 7-9 классов того же авторского коллектива. Изложение теоретического материала более строгое, чем на предыдущей ступени обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры решения наиболее важных задач, причем данные решения наиболее трудных задач потребуются ученикам как опорные, при доказательстве теорем, следствий из теорем и т. д. Имеются дополнительные задания, которые идут после всей главы. Для решения этих задач необходимо знать не только материал изученной главы («Объемы тел»), но и применить знания, умения и навыки, полученные при изучении других тем. В процессе их решения очень хорошо развивается логика, воображение. Другими словами можно сказать, что при решении дополнительных задач у учащихся развиваются три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.
На изучение темы «Объемы тел» отводится 19 ч. Входят такие разделы, как: объем прямоугольного параллелепипеда, объемы прямой призмы и цилиндра, объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса, объем шара и площадь сферы, объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.
Основная цель – продолжить систематическое изучение многогранников и тел вращения в ходе решения задач на вычисление их объемов. В курсе стереометрии понятие объема вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры, и формулируются основные свойства объемов. Существование и единственность объема тела в школьном курсе математики приходится принимать без доказательства, так как вопрос об объемах принадлежит, по существу, к трудным разделам высшей математики. Поэтому нужные результаты устанавливаются, руководствуясь больше наглядными соображениями. Учебный материал главы в основном должен усваиваться в процессе решения задач.
Основная теория в начале курса стереометрии изучается с опорой на геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит, и результативность обучения.
Учебник И. Ф. Шарыгина [11] реализует авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Его характеризует отказ от аксиоматического метода и акцент на использование наглядных методов в процессе построения теории и решения задач. В учебнике нетрадиционно изложены многие необходимые теоретические факты. Их доказательства оригинальны и, что немаловажно, красивы. Учебные тексты написаны хорошим литературным языком.
Теоремы в учебнике нацелены не столько на «прохождение программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в котором имеются теоремы, обычно не рассматриваемые в школе. Доказательства этих теорем поучительны сами по себе, а владение ими дает запас фактов и приемов, позволяющих решать довольно трудные задачи.
Система упражнений в учебнике позволяет реализовать идею уровневой дифференциации. Здесь есть задачи, отмеченные звездочкой, предназначенные для углубленной подготовки; специально выделены полезные (П), важные (В) и трудные (Т) задачи.
Учебник И. М. Смирновой [9] для естественнонаучного профиля является одним из нескольких учебных пособий, написанных И. М. Смирновой и В. А. Смирновым. Эти учебники объединяет единая концепция авторского подхода к геометрии как науке и учебному предмету, а их отличия связаны с учебными задачами, которые ставятся в том или ином профиле. Так учебник для естественнонаучного профиля позволяет углубить знания учащихся по геометрии, в нем расширен материал о многогранниках, например, имеются теорема Эйлера, учебные пункты, посвященные правильным, полуправильным, звездчатым многогранникам, многогранникам, вписанным в сферу, описанным около сферы и т. п. Больше внимания в учебнике уделено изучению кривых и поверхностей, рассматриваются аналитические способы задания фигур. Наряду с декартовыми координатами в пространстве используются полярные и сферические координаты.
Учебник [6] написан кратко и просто, в нем реализован аксиоматический подход к построению курса. В теоретической части учебника авторы выделяют основные теоремы, из которых остальные получаются как следствия. Например, в первом параграфе выводится формула объема прямого цилиндра, а затем представление объема интегралом. Но после параграфа идут задачи на объем прямой призмы. Таким образом, ученики сами выводят формулы. В учебнике обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую развивающуюся науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров Древней Греции. Изложение теоретического материала строгое. Четкая структура, высокая научность, доступность изложения, простота и краткость – отличительные черты этого учебника. Авторы представляют геометрию, как науку, тесно связанную с окружающим миром. Появлению абстрактного понятия предшествует реальная картина, которая аргументирует необходимость этой абстракции.
К каждому параграфу дается набор задач. Среди них выделены основные задачи, то есть обязательные для всех. Именно в задачах заложен принцип развивающего обучения. Большую помощь учащимся окажут предметный указатель и ответы.
По учебнику [6] на изучение темы «Объемы тел и площади их поверхностей» отводится 20 ч. Входят такие параграфы, как: определение объема, представление объема интегралом, объемы некоторых тел – цилиндра (в том числе призмы), конуса (в том числе пирамиды), шара; площадь поверхности, площадь сферы, площадь поверхности цилиндра и конуса.
Основная цель – продолжить ознакомление учеников с геометрическими величинами.
Аппарат для нахождения этих величин взят из курса начал анализа: интегрирование и вычисление пределов. Тонкие вопросы существования этих величин требуют некоторого комментария со стороны учителя. Например, если мы умеем вычислять объем шара, то из каких соображений находится объем любой его части?
Следует заметить, что только в этом разделе теории в учебнике встречаются утверждения, не имеющие достаточно полного обоснования, опирающиеся на наглядно ясные соображения. Например, постулируется, что любое простое тело имеет объем.
В учебнике И. М. Смирновой и др. [10] реализован курс, несколько меньший по объему, чем в обычных классах, он рассчитан на 2 часа в неделю в течение полутора лет. В нем сохранены основные вопросы традиционной программы по стереометрии. При этом устранены излишняя детализация и теоремы, играющие вспомогательную роль.
Гуманитарная направленность курса поддерживается за счет вопросов исторического, философского и мировоззренческого характера, рассмотрения приложений геометрии. При этом курс логически связан, содержит необходимые определения, свойства, теоремы и их доказательства. Большую роль играет наглядность.
После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи, используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.
Таким образом, в настоящее время действующих учебников по геометрии для 10-11 классов очень много. Каждый авторский коллектив вносит в содержание своих учебников что-то новое, отличающее их от других. Школа и учителя вправе выбирать те из них, которые, по их мнению, дадут оптимальный уровень знаний по геометрии учащимся того или иного класса. В общеобразовательных школах, где нет углубленного изучения отдельных предметов, чаще всего используют учебник [7].
Задача определения объемов тел относится к глубокой древности. Она возникла в связи с практической деятельностью людей. Говоря простым языком, объем – это часть пространства, занимаемая телом. Точнее: объем – некоторая физическая, а именно геометрическая величина, характеризующая то свойство тел, что они трехмерны или занимают часть пространства. С понятием величины мы много раз встречались в физике и в геометрии.