Методика преподавания темы "Элементы логики" в курсе математики 5-6 классов (стр. 2 из 5)

Представители направления, основанного голландским математиком Л. Брауэром (1881-1966 гг.) в начале XX века, предложили отказаться от рассмотрения бесконечных множеств как завершенных совокупностей, а также от логического закона исключенного третьего. Ими признавались только такие математические доказательства, которые конструктивно строили тот или иной объект, и оспаривались чистые доказательства существования. Они построили специфическую математику, имеющую специфические особенности, еще раз подчеркнули различие между конструктивным и неконструктивным в математике.

XX век стал веком бурного развития математической логики, формирования многочисленных новых ее разделов. Были построены различные математические теории множеств, выработано несколько формализаций понятия алгоритма, а сама теория алгоритмов была настолько развита, что ее методы стали проникать в другие разделы математической логики, а также в другие математические дисциплины. Так, на стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. Немалый вклад в развитие математической логики внесли и советские математики Н. А. Васильев, И. И. Жегалкин, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, А. И. Мальцев, С. А. Яновская. Кроме того, в XX веке началось глубокое проникновение идей и методов математической логики в технику, кибернетику, вычислительную математику, структурную лингвистику.

Анализ учебной литературы.

В процессе обучения школьников математике большую роль играет учитель, но немаловажное значение имеет и учебник или то учебное пособие, с которым ученик имеет возможность самостоятельно поработать, либо повторить пройденное.

В настоящее время не все учебники содержат материал, который познакомил бы учеников с элементами логики в полной мере. В ныне существующих учебниках рассматриваются вопросы, связанные с высказываниями и их равносильными преобразованиями. В основном, это одно или двуместные высказывания. Здесь изучаются уравнения, тождества, тождественно равные выражения, неравенства, системы уравнений и неравенств, а также их свойства. Этот материал дается с целью использования его при решении текстовых задач. Проанализируем некоторые из учебников.

1) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс. В двух частях. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1998.

Учебник [5] состоит из двух частей, каждая из которых поделена на главы.

В первых двух параграфах первой главы автор предлагает изучить математические выражения и математические модели. Здесь ребята смогут научиться записывать, читать, составлять выражения и находить их значения, что несомненно поможет в изучении последующих тем, а именно в переводе условия задачи на математический язык, в работе с математическими моделями.

Но больше интересует пункт – «Язык и логика».

Здесь автор предлагает изучить следующие темы:

1. Высказывания.

2. Общие утверждения.

3. «Хотя бы один».

4. О доказательстве общих утверждений.

5. Введение обозначений.

В этом параграфе рассматривается понятие высказывания или утверждения и связанные с ним простейшие понятия. При этом автор отмечает, что вместо слов «верное» и «неверное» часто говорят истинное и ложное. Автор также дает понятие темы (то, о чем говорится) и ремы (то, что сообщается). Во втором пункте автор знакомит ребят с общими утверждениями. Определяются утверждения, в которых все элементы некоторого множества обладают данным свойством, то есть общие утверждения, и утверждения, в которых хотя бы один элемент в заданном множестве обладает определённым свойством, то есть утверждения о существовании. В четвертом пункте автор рассказывает о доказательстве общих утверждений методом перебора, который был уже изучен ранее. Но метод перебора не может быть применен для бесконечных множеств. В связи с этим в следующем пункте автор вводит обозначения, то есть предлагает использовать математический язык.

Материал рассмотренного параграфа применяется в темах, которые автор рассматривает далее. Например, автор рассматривает делимость натуральных чисел. Уже с самого начала, когда он знакомит ребят с основными понятиями, говорится об истинности утверждения: число 27 делится на 3.

В номере 377 нужно из букв, соответствующих истинным высказываниям, составить математический термин.

Во многих заданиях применяется нестандартная формулировка. Например, в 400 номере нужно проверить истинность высказывания:

В пункте «Делимость суммы и разности» в номере 497 ученикам предлагается привести контрпример, опровергающий утверждение:

Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма не делится на это число.

В первых четырех параграфах второй главы автор дает понятие делителя и кратного, знакомит с простыми и составными числами, рассматривает делимость произведения, суммы и разности, признаки делимости и возвращается к простым числам, рассматривая их делимость.

Уже в последнем параграфе автор возвращается к логике, где рассматривает равносильность предложений и определения. Автор не дает явного определения равносильным предложениям. Идея такая, что одну и ту же мысль можно выразить по-разному. Автор дает много примеров различного характера и дает к ним пояснения. Также, он применяет ранее изученное, а именно признаки делимости. Далее равносильность предложений используется при изучении признаков делимости.

В учебнике [5] ребята познакомились со многими понятиями. Во втором пункте пятого параграфа автор отмечает, что одно определение можно сказать и записать в разных формах, но всегда определение объясняется через уже известные «старые» слова. Ребята учатся писать на математическом языке уже известные им понятия. Таким образом автор уже сейчас вводит основные кванторы, не делая на них строгий акцент.

2) Дорофеев, Г. В. Математика. класс. В трех частях. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1998.

Учебник [2] начинается с главы «Язык и логика». В этой главе автор рассматривает понятие отрицания. Явного определения здесь также не дается. Отрицание рассматривается на примере спора двух людей, которые отрицают друг друга. Далее автор приводит не сложные примеры отрицаний, которые оформлены в виде таблицы, что очень удобно для учеников. Автор отмечает, что необходимо культурно и грамотно формулировать отрицание.

Далее автор формулирует закон исключенного третьего.

В следующих двух параграфах рассматривается отрицание общих высказываний и отрицание высказываний о существовании. Здесь ученики учатся формулировать отрицание не только грамотно с точки зрения русского языка, но и для дальнейшего использования в рассуждении. Рассмотренный материал используется уже в следующем параграфе при построении отрицаний утверждений с кванторами, а также часто будет использоваться при построении цепочки рассуждений при доказательстве утверждений и теорем.

Во втором параграфе автор рассматривает понятие переменной, выражения с переменными, предложения с переменными, переменные и кванторы. Здесь он явно дает понятие переменной, выражений с переменной. Здесь же автор знакомит ребят с понятием квантора. Это позволяет ребятам уже сейчас записывать высказывания в компактной, легко обозримой форме. В этом параграфе ученики узнают математический язык как точный язык. Например, ученики имеют возможность узнать о таком факте, что истинное высказывание

вообще высказыванием не является. Материал, изученный в рассмотренном параграфе, используется при изучении главы «Арифметика». Здесь во многих задачах необходимо найти значение переменной.

В третьей главе рассматривается понятие логического следования. Понятие дается на примерах из жизни и из математики. В следующих пунктах ученики знакомятся с понятием отрицания логического следования и понятием обратного утверждения.

На данном этапе ученики уже знакомы с понятием равносильности. В следующем пункте автор связывает понятие равносильности с понятием логического следования.

И в последнем пункте автор рассматривает следование и свойства предметов. Рассмотрение данной темы упрощает изучение следующей главы «Геометрия», где при введении различных понятий и утверждений используется логическое следование. Рассматриваются обратные утверждения и отрицание утверждений, их истинность.

Хотелось бы отметить то, что учебник содержит много нестандартных задач с интересными формулировками, много задач на доказательство. Многие задачи даются в виде схем, алгоритмов, таблиц, что развивает зрительное восприятие учеников. Учебник содержит задания для самостоятельной работы, повторения, выделено домашнее задание и задания для работы на уроке. Материал изложен в доступной форме. В конце изученного материала ученики могут проверить свои знания с помощью тестов, «Блиц турниров», игр.

3) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс . Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 3-е изд.- М.: Просвещение, 2000. –С. 368.

4) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс . Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 2-е изд.- М.: Дрофа, 1997. –С. 416.

Материал учебника разделен на 8 глав, которые подразделены на параграфы и пункты. Упражнения, которые сопровождают теоретический материал, поделены на уровни А и В. В конце каждой главы даны «Задачи для самопроверки», которые включают в себя упражнения отвечающие обязательным требованиям.