Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе (стр. 2 из 10)

Oобозначение.f: X Y

Элемент y называется образом элемента x, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f.

y= f(x)

Определение. Отображение f: X

Y называется

1) Инъективным (инъекцией), если каждым двум различным элементам множества X соответствуют два различных элемента множества Y.

2) Сюръективным (сюръекцией), если f(X) = Y, т. е. каждый элемент множества Y является образом, по крайней мере, одного элемента множества X.

3) Взаимно – однозначным или биективным (биекцией), если оно является одновременно сюръективным и инъективным.

Определение. Совокупность B всех элементов множества X, образами которых служат элементы множества B', являющегося подмножеством множества Y, называется полным прообразом множества B' при отображении f.

Определение. Если f(X)

X, то говорят, что множество X отображается в себя. При f(X) =x говорят, что множество X отображается на себя.

Определение. Отображение f множества X на множество Y называется обратимым (взаимно - обратным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение f^-1 множества Y на множество X.

Определение. Отображение множества X на множество Y называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества X ставиться в соответствии один и только один элемент множества Y, и каждый элемент множества Y поставлен в соответствии одному и только одному элементу множества X.

Таким образом, при взаимнооднозначном отображении множества X на множество Y.

1) каждому элементу множества X, ставится в соответствии некоторый элемент множества Y;

2) различным элементам множества X, ставится в соответствии различные элементы множества Y;

3) каждый элемент множества X поставлен в соответствие некоторому элементу множества Y.

Необходимый и достаточный признак преобразования данного множества – одновременное выполнение двух условий:

1) Каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве;

2) Каждый элемент данного множества имеет единственный прообраз в этом множестве.

Определение. Пусть f и g – два преобразования множества X и для произвольного x

X, f(х)=y, g(y)=z, причём y X, z X. Определим отображение , являющееся преобразованием множества X. Преобразование . Называется композицией (произведением) преобразования f и преобразования g. Пишут =g f( =g×f).

(х)=(g×f)(x)=g(f(x))=g(y)=z

Определение. Два преобразования f₁и f₂ одного итого же множества X называются равными, совпадающими, если для любого x

X имеет место f₁(x)=f₂(x).

Определение. Преобразование e множества X называется тождественным, если для любого x

X, имеет место e(x)=x. Поэтому для любого преобразования f множества e f=f e=e.

Определение. При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение их образов

f (A

B)=f(A) f(B).

Определение. При любом преобразовании пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств

f (A

B)=f(A) f(B).

1.3 Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований

В геометрии приходится производить не одно, а несколько преобразований, следующих друг за другом. Случай, когда рассматривается совокупность преобразований, обладающая тем свойством, что каждую конечную последовательность преобразований этой совокупности можно заменить одним преобразованием той же совокупности, и преобразование, обратное любому из рассматриваемых преобразований, снова принадлежит данной совокупности. Это называется - группа преобразований. Рассмотрение группы преобразований позволяет выделить ряд геометрических свойств. Знание свойств, не меняющихся при преобразованиях той или иной группы, часто позволяет упростить решение конкретных геометрических задач.

Определение. Преобразованием фигуры

называется любое биективное отображение фигуры на себя.

Теорема (о группе преобразований). Множество W всех преобразований фигуры

есть группа.

Следствие. Множество всех преобразований плоскости является группой преобразований относительно композиции преобразований.

Определение. Подгруппой V группы W называется подмножество Vмножества W, являющееся группой относительно бинарной операции, определенной в W.

Теорема (о подгруппе). Для того чтобы подмножество V группы W было подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Если

W, W, то V.

2. Если

V, то V

1.4 Преобразование подобия плоскости. Гомотетия плоскости

Определение. Пусть имеются две прямоугольные декартовые системы координат Oij и O^/i^/j^/, при этом |i^/|=|j^/|=k|i|=k|j|=k (k>0). Тогда преобразование плоскости, которое каждой точки М с координатами (x, y) относительно O^/i^/j^/ ставит в соответствии точку М' с теми же координатами (x, y), но относительно Oij, называется преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k.

Из определения следует, что тождественное преобразование и движение являются преобразованиями подобия.

Основное свойство преобразования подобия.

Преобразование подобия плоскости изменяет расстояние между любыми двумя точками плоскости в одном и том же отношении, равном коэффициенту подобия k, т. е. для любых точек М, N и их образов М', N' выполняется равенство |M^/N^/|=k

.

Доказательство. Пусть относительно Oij точки М и N имеют координаты: М(x₁, y₁), N(x₂, y₂). Тогда

=

Образы М' и N' точек М, N имеют соответственно те же координаты (x₁, y₁), (x₂, y₂) относительно системы координатO^/i^/j^/. Найдём:

= = = = = = , так как и .

Свойства преобразования подобия.

Преобразование подобия плоскости всякую прямую отображает в прямую.

Преобразование подобия плоскости отображает полуплоскость с границей в полуплоскость с границей где .