Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе (стр. 3 из 10)
Преобразование подобия плоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой. 
Преобразование подобия плоскости сохраняет отношение “лежать между”. 
Преобразование подобия плоскости отображает угол в равный ему угол. 
Преобразование подобия плоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч. 
Преобразование подобия плоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые.Следствие. Преобразование подобия плоскости отображает параллелограмм в параллелограмм.
Преобразование подобия плоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов и произведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующий вектор.Теорема. Если преобразование подобия f с коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij иO/i/j/, при этом
и O/(x0,y0), то координаты любой точки M(x,y)Oij и её образа M/(x/,y/)O/i/j/ связанысоотношениями: 
где 
(1)Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам.
Замечание. При
системы координат Oij и O/i/j/ одинаково ориентированы, а при 
противоположено ориентированы.Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при
и преобразованием подобия второго рода при .Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k.
Гомотетия плоскости.
Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии
называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М/ по закону 
. 
Обозначение. 
- гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.Определение. Гомотетичными называются фигуры
и 
= 
.1) Гомотетичные точки М и М/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О.
2) Точки М и М/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0.
3) М/N/=|k|MN.
4) Гомотетия плоскости является при:
k=1-тождественным преобразованием;
k=-1-центральной симметрией.
Формулы гомотетии с центром в начале координат:
, 
Если центр гомотетии имеет координаты S(x0, y0), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:
, 
Если введем обозначения
, 
то получим формулы 
, 
Основное свойство гомотетии.
Для любых точек М, N и их образов
, 
имеет место равенство: 
.Доказательство. Воспользуемся равенствами:
, 
, , 
и найдём 
.Следствия.
1) Гомотетия с коэффициентом
является преобразованием подобия с коэффициентом подобия 
, так как из основного свойства следует 
или 
.2)
, если k>0, и 
, если k<0.3) Гомотетия плоскости обладает всеми свойствами преобразования подобия, в частности: прямую отображает в прямую, параллельные прямые - в параллельные прямые, Изменяет все расстояния в одном и том же отношении, сохраняет углы.
Характерные свойства гомотетии.
Гомотетия плоскости имеет одну неподвижную точку – центр гомотетии. 
Гомотетия плоскости отображает прямую, проходящую через центр гомотетии, в себя. Гомотетия плоскости ( 
) отображает прямую, в параллельную ей прямую, так не проходящую через центр гомотетии. Гомотетия плоскости отображает окружность, центр которой совпадает с центром гомотетии, в концентрическую окружность. При этом радиусы окружностей связаны соотношением 
. Всякие две неравные окружности гомотетичны друг другу, при этом, если окружности не являются концентрическими, существуют две гомотетии, отображающие одну из них в другую. 
Гомотетия плоскости является преобразованием подобия первого рода.Теорема. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k можно представить как композицию гомотетии и движения.
1.5 Группа преобразований подобия и её подгруппы
Теорема 1.Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.