Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе (стр. 7 из 10)
Чтобы показать применение подобия треугольников при доказательстве теорем, решении разнообразных задач, измерительных работ на местности изучается параграф о применении подобия, полезно повторить с учащимися второй признак подобия треугольников и познакомить с идеей доказательства теоремы о средней линии треугольника, и решить по готовым чертежам задачи устного характера.
После рассмотреть определение средней линии треугольника и сформулировать теорему о средней линии треугольника, а учащимся можно предложить провести доказательство самостоятельно.
Изучение пункта пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно организовать: по готовым чертежам доказать подобие предложенных различных треугольников, а затем как следствие из доказанного обосновать утверждение 10 и 20. Перед тем как приступить к решению задач на построение методом подобия, желательно напомнить учащимся основные задачи на построение: Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте: медиану АМ, биссектрису AD и высоту AH треугольника АВС;
a) прямую BN, параллельную медиане AM.
(Не обязательно чтобы учащиеся выполняли все построения циркулем и линейкой, достаточно, если они укажут в каждом случае последовательность выполнения операций). На последнем из уроков , необходимо рассмотреть материал раздела «Измерительные работы на местности», в конце урока желательно провести небольшую беседу (10 минут) о подобии произвольных фигур.
Тематическое планирование
| №пункта | Название параграфа или пункта | Количество часов |
| Глава 1. Подобные фигуры | 19 | |
| §1. Определение подобных треугольников. | 2 | |
| 56 | Пропорциональные отрезки | 1 |
| 5758 | Определение подобных треугольниковОтношение площадей подобных треугольников | 1 |
| §2. Признаки подобия треугольников | 5 | |
| 59 | Первый признак подобия треугольников | 2 |
| 60 | Второй признак подобия треугольников | 1 |
| 61 | Третий признак подобия треугольников | 1 |
| Решение задач по теме | 1 | |
| Контрольная работа | 1 | |
| §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач | 7 | |
| 62 | Средняя линия треугольника | 2 |
| 63 | Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике | 2 |
| 64 | Практические приложения подобия треугольников (решение задач на построение) | 1 |
| 6465 | Практические приложения подобия треугольников (измерительные работы на местности)Подобие произвольных фигур | 2 |
| §4. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника | 3 | |
| 66 | Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника | 1 |
| 67 | Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450, 600. | 1 |
| Решение задач по теме | 1 | |
| Контрольная работа | 1 |
§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников
Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число
. Это число не зависит от выбора единицы измерения [5].Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 углы соответственно равны:
, 
, 
. В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными.Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
, , , (1) 
(2)Обозначение.
АВС~ А1В1С1. 
Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).
Первый признак подобия треугольников.
Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых
, .По теореме о сумме углов треугольника
, поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1. Так как и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.). 
и 
.Из этих равенств получаем:
. Аналогично используя равенства , , получим 
. Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А1В1С1 пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.Второй признак подобия треугольников.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых
, . Докажем, что АВС~ А1В1С1.Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что
.От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А1, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В1.
Т. к.
, то 
, поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С2 (рис. б). Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому 
. С другой стороны, по условию теоремы . Из этих двух равенств получаем: АС = АС2. Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по первому признаку равенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС2, 
, т. к. и 
). Отсюда следует, что 
, а т. к. 
, то 
.Третий признак подобия треугольников.
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, стороны которых пропорциональны:
(3)