К изучению данной темы ученики приступают с хорошим знанием нумерации трехзначных чисел, т.е. чисел первого класса. Это знание и нужно положить в основу изучения нумерации чисел класса тысяч.
Пользуясь откладыванием чисел на классных счетах, ученики получают три новые для них счетные (разрядные) единицы - тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч. И здесь же учитель сообщает, что ранее известные три разряда (единицы, десятки, сотни) составляют класс единиц, а вновь полученные три разряда (единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч) составляют класс тысяч.
Далее подробно выясняется, что общего и что различного в этих классах.
Общее: в каждом классе по три разряда; название разрядов (единицы, десятки, сотни в классе единиц; единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч в классе тысяч). Отношение соседних разрядных единиц (10); в каждом классе 10 единиц низшего разряда образуют одну единицу следующего, высшего разряда.
Что различного в этих классах: в классе единиц счет ведется единицами, в классе тысяч - тысячами; счетная единица первого класса - простая единица; счетная единица второго класса - тысяча. Единицами считают от 1 до 999, тысячами - от 1 тысячи до 999 тысяч.
Эти сведения приобретают более конкретный характер, когда они записаны в нумерационной таблице:
| Второй класс - класс тысяч | Первый класс - класс единиц | ||||
| VI разрядСотни | V разрядДесятки | IV разрядТысячи | III разрядСотни | II разрядДесятки | I разрядЕдиницы |
Данная таблица подчеркивает единообразие в построении классов; вместе с тем в ней видно и то, что различает эти классы.
Чтобы у детей сложилось правильное представление о натуральной последовательности чисел за пределами тысячи, на первом или на втором уроке нужно провести упражнение в счете: в присчитывании и отсчитывании по единице и группами единиц - по 5, 10, 50, 100 и т.д.
После этого следует остановиться на нумерации чисел класса тысяч, т.е. круглых тысяч, например: 268 тысяч, 306 тысяч, 500 тысяч, 420 тысяч, и провести упражнения:
в образовании таких чисел из данных разрядных чисел;
в чтении чисел класса тысяч, сначала записанных в нумерационной таблице,потом - без таблицы;
в записи чисел, состоящих из круглых тысяч (под диктовку учителя);
в выполнении действий над числами второго класса, причем эти числа даются сначала в таком виде: 320 тыс. + 200 тыс.; 600 тыс. - 400 тыс.; 18 тыс.4, а потом в обычной их записи:
7 000 + 9 0004 000 8
40000 - 2500036000: 9
После этого изучается нумерация любых четырех-, пяти-, шестизначных чисел, в которых все или только некоторые разряды обоих классов (в том числе и класса единиц) заполнены разрядными числами, например 516824; 40068 и др.
Переход, к каким числам может быть сделан путем постепенного "заполнения" разрядными числами класса единиц, представленного нулями.
Сколько получится, - спрашивает учитель, - если к 325 тысячам (325000) прибавить 8 единиц? 48'единиц? 648 единиц?
Ответы учащихся записываются на доске, и в результате получается шестизначное число, в котором оба класса представлены значащими цифрами:
325 тыс. - 325 000
325 тыс.8 ед. - 325 008
325 тыс.48 ед. - 325 048
325 тыс.648 ед. - 325 648
Полученное число (325 648) подвергается подробному анализу: в нем два класса; в каждом классе по три разряда; в классе тысяч 325 единиц, - значит, в числе 325 тысяч; в классе единиц 648. Все число читается так: 325 тысяч 648. Вслед за этим идут упражнения в чтении и записи аналогичных чисел. Уяснению структуры многозначного числа, его разрядного и поклассного состава во многом способствуют:
а) примеры на сложение и вычитание, решаемые на основе знания десятичного состава числа, например:
25000 + 4000 18420 - 4205460 - 400
30 000 + 500 76 200 - 6 000 16 903-16 000
б) разложение данного числа на его разрядные слагаемые и обратная операция - запись выражения (суммы) в виде одного числа, например:
65 040 - 60 000 + 5 000 + 40
4 000 + 700 + 30 + 8 = 4 738
На этом этапе изучения нумерации продолжается работа и по закреплению знания натуральной последовательности чисел. С гой целью проводятся упражнения в выполнении различных заданий, например:
а) присчитывайте по 1 и записывайте числа: от 9 997 до 10 004; 99 998 до 100 005;
б) отсчитывайте по 1 и записывайте числа: от 1 003 до 998; от 3 002 до 9 996; от 10 000 до 99 996;
в) запишите число, меньшее 100 000 на 5; большее 19 998 на 3;
г) запишите "соседей" чисел: 20 000; 90 000; 100 000;
д) сравните числа: 600 и 6 000; 7 009 и 7 090; 36 214 и 36 241;
е) вставьте вместо точек необходимые числа:
1 726 < 17. ., 100 060 > 1000...
Знание натуральной последовательности чисел находит свое применение и при решении примеров типа:
99 999 + 1 10 000 - 1 70 000 + 30 000
199 999 + 1 100 000 - 1 90 000 + 1 000
Решая первый пример, ученик рассуждает так: "Если прибавить числу единицу, то получится число, следующее за данным. А число, которое следует за числом 99 999, есть 100 тысяч. Поэтому пишу: 99 999 + 1 = 100 000".
Если ученик затрудняется назвать это число, что вполне естественно, тогда число 99 999 нужно представить в виде суммы: Э тыс. + 999, прибавить единицу к 999.999 да 1 будет 1000, 99 тыс. а 1 тыс. будет 100 000.
Решая пример 10000 - 1, ученик рассуждает: "Если вычесть из числа единицу, то получится число, предшествующее данному. Числу 10 тысяч предшествует число 9 999. Значит, 10 000 - 1 = = 9 999". Если же ученик не сумеет назвать это предшествующее число, то объяснение может быть дано в таком виде: "Представим число 10 тыс. в виде суммы двух слагаемых: 9 тыс. + 1 тыс. Теперь вычтем 1 из 1 тысячи, получим 999, а всего останется 9 999".
Теперь нужно продолжить эту работу и установить, что наименьшим и наибольшим числами являются:
среди четырехзначных чисел: 1 000 и 9 999;
среди пятизначных чисел: 10 000 и 99 999;
среди шестизначных чисел: 100 000 и 999 999.
Очень важно, делая такую запись, объяснить, почему 1 000 наименьшее, а 9 999 наибольшее в ряду четырехзначных чисел. Ответ на этот вопрос дает знание натуральной последовательности чисел: 1 000 - наименьшее число в ряду четырехзначных, потому что число, меньшее его на единицу (999), является уже трехзначным числом, а 9 999 - в ряду четырехзначных чисел наибольшее, потому что число, большее его на единицу (10 000), является уже пятизначным числом.
После объяснения этого случая ученики с помощью учителя уже смогут самостоятельно дать объяснение, почему в ряду пяти-, шестизначных чисел 10 000 и 100 000 являются наименьшими.
Существенной особенностью системы изучения нумерации, принятой в учебнике, является и то, что в ней нумерация отвлеченных чисел изучается в тесной связи с нумерацией именованных чисел; разрядные единицы счета сравниваются с единицами измерения; образование отвлеченных чисел сопоставляется с образованием именованных чисел.
После того как ученики познакомятся с правилом чтения шестизначных чисел и научатся узнавать, сколько всего единиц II класса содержится в данном числе, им предлагается задание выразить в метрах: 3 000 мм; 30 000 мм; 920 000 мм.
Выполняя эти задания, ученик рассуждает так: "Тысяча миллиметров составляет 1 м, а 3 тыс. мм составляют 3 м".
Далее следуют упражнения обратного характера: "Выразите в миллиметрах: 1 м; 80 см; 3 м 20 см; 4 м 05 см".
Ученик рассуждает так: "В 1 м тысяча миллиметров, а в 2 м-
2 тысячи миллиметров (2 000 мм)".
В 1 см - 10 мм, а в 80 см - 80 десятков миллиметров, или 800 мм.
В 3 м - 3 000 мм да еще 20 см - 200 мм, а всего в 3 м 20 см
3 200 мм.
После рассмотрения различных случаев преобразования отвлеченных чисел, т.е. выражения их в более мелких или в более крупных разрядных единицах, параллельно рассматриваются такие вопросы:
Сколько всего сотен в числе 3 200?
Сколько метров в 3 200 см?
Сколько метров и сантиметров в числе 5846 см?
Выразите в более мелких единицах: 8 сот.9 дес. - в десятках, 8 м 9 дм - в дециметрах.
В результате совместного рассмотрения отвлеченных и именованных чисел ученик начинает понимать, что численная характеристика
множества зависит от выбора единицы счета, понимать равенство чисел, характеризующих одно и то же числовое значение величины.
Чтобы закрепить у детей знание поместного значения цифры, в содержание работы по изучению нумерации включен раздел "Увеличение и уменьшение числа в 10, 100, 1000 раз". Умение увеличить и уменьшить число путем приписывания или отбрасывания нулей справа позволяет решать примеры и задачи, в которых требуется умножать или делить число, оканчивающееся нулями. Это умение требуется также при преобразовании данных чисел (при выражении их в более мелких и крупных единицах).
В основе методики этого вопроса лежат наблюдение и сравнение: учащиеся наблюдают за тем, как изменяются числа, когда к ним приписывают или отбрасывают нули, сравнивают исходные и полученные числа и выводят соответствующее правило. После этого вводятся знаки умножения и деления, решаются примеры и задачи: 54 000: 1 000; 3 800 100 и т.п.
В содержание темы "Нумерация", как уже сказано выше, входит вопрос о преобразовании числа, которое сводится к двум операциям - к раздроблению единиц какого-либо разряда в единицы низшего разряда и к выделению из данного числа всех единиц какого-либо разряда.
В методическом отношении это сложный вопрос, и решается он по-разному. Приведем здесь один из способов объяснения. На конкретных примерах выясняется, что в числе, состоящем из круглых десятков, единиц в 10 раз больше, чем десятков; в числе, состоящем из круглых сотен, единиц в 100 раз больше, чем сотен, и т.д. Поэтому, если требуется, например, 36 десятков выразить в единицах, достаточно 36 увеличить в 10 раз; это можно сделать путем приписывания к числу одного нуля справа. А если требуется узнать, сколько единиц в 36 сотнях, достаточно 36 увеличить в 100 раз, что можно сделать, приписав к числу справа два нуля, и т.д.
Отсюда правило: чтобы узнать, сколько единиц в числе, состоящем из десятков, надо приписать к числу справа один нуль; чтобы узнать, сколько единиц в данном числе сотен, надо приписать к числу справа два нуля и т.д.