2.4 Методика обучения решению составных задач на нахождение неизвестного по двум разностям
Задача на нахождение неизвестного по двум разностям включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми [9, с.273].
Применительно к каждой тройке величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью. Таким образом, классификацию задач на нахождение неизвестного по двум разностям возможно тоже отразить в таблице (см. Приложение 7).
Способ решения – арифметический (нахождение значения постоянной величины через вычисление отношения заданной разности значений величин к разности значений двух данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и алгебраический (уравнением).
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы. В общем виде таблицы всех шести видов задач представлены в Приложении 8.
Этапы обучения решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям – подготовительный, ознакомительный, закрепление. Подготовкой к решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям является твердое умение школьников решать простые задачи на установление соответствия между двумя разностями и простых задач с различными группами пропорциональных величин. При ознакомлении с задачами на нахождение неизвестного по двум разностям следует учитывать опыт учащихся, полученный в процессе решения задач на пропорциональное деление. Задачи нового типа могут быть получены из решенных задач на пропорциональное деление. Сначала рассматривают задачи на нахождение неизвестного по двум разностям первого вида с различными группами пропорциональных величин. При этом обязательна проверка решения способом установления соответствия между искомыми, полученными в ответе и данными из условия задачи. После этого вводятся задачи второго вида. Задачи других видов в начальном курсе математики обычно не рассматриваются. В процессе закрепления школьникам предлагают к решению задачи 1-2 видов с различными группами пропорциональных величин и упражнения творческого характера на преобразование условия задач.
2.5 Методика обучения решению задач на движение
Задача на движение включает три величины: скорость, время, расстояние, которые связаны пропорциональной зависимостью.
Рассматривая классификацию задач на движение, необходимо отметить следующее. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на задачи на движение в одном направлении, задачи на сближение объектов, задачи на удаление объектов, задачи на движение по реке. Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как задачи на нахождение четвертого пропорционального, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям, задачи на пропорциональное деление.
В виду специфичности задач на движение для их решения удобно записывать данные условия в виде таблицы (скорость – время – расстояние) и использовать схемы, которые отражают процесс движения, а не отношения между величинами.
Подготовкой к решению задач на движение является обобщение представлений учащихся о движении как некотором процессе (анализ наблюдений за движением различных видов транспорта и пешеходов на экскурсии), введение понятия «скорость движения» и характеристики скорости движения как расстояния, пройденного за единицу времени, повторение единиц измерения длины и времени, знакомство с различными единицами измерения скорости, формирование четкого представления школьников о существующей зависимости между скоростью, временем и пройденным расстоянием [31, с.67].
В процессе решения задач на движение формируется представление учащихся о некоторых средних скоростях движения пешехода, велосипедиста, теплохода, автомобиля и др., и представление о равномерном и неравномерном движении. Сначала рассматривают простые задачи на равномерное движение.
Следует помнить, что при ознакомлении с задачами на движение недопустимо заучивание приемов решения задач с прямо и обратно пропорциональной зависимостью. Затем вводятся составные задачи на встречное движение объектов, на удаление объектов, на движение в одном направлении, на движение по реке. Кроме того, учащиеся работают над задачами на движение, которые по способу решения можно отнести к задачам на нахождение четвертого пропорционального, на нахождение неизвестного по двум разностям, на пропорциональное деление.
Закрепление осуществляется посредством включения в содержание уроков задач на различные виды движения и решения их различными способами с последующим отбором наиболее рационального из них.
Отдельное внимание уделим решению составных задач на встречное движение и на противоположное движение.
Методика обучения решения задач «на встречное движение» основывается на четких представлениях учащихся о скорости равномерного движения, которые уточняются и обобщаются на специально отведенных этому вопросу уроках. На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов «двигаться навстречу друг другу», «в противоположных направлениях», «выехали одновременно из двух пунктов и встретились через…» и т.п.
После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач «в отрезках». Причем стараться соблюдать отношения их длины в зависимости от скоростей и пройденных (в частности «до встречи») расстояний.
Перед решением таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсценировке, что «встречное движение» – тоже движение в «противоположных направлениях», что после встречи, если скорости тел не изменились, они будут «удаляться» друг от друга с той же скоростью, с какой «сближались». Поэтому скорость удаления тоже равна сумме скоростей движущихся тел.
В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи: если известны расстояния и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известна скорость и время движения, можно узнать расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, можно найти время движения действием деления.
Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.
При работе с этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно использовать, определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче.
Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовать задачу на нахождение четвертого пропорционального, в задачу на пропорциональное деление, и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения [20, с.49].
Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера.
Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим их решением, а также упражнения по преобразованию задач. Это прежде всего составление задач аналогичных решению. Или составление и решение задач по их краткой схематической записи.
Прежде чем ввести задачи на встречное движение очень важно сформировать правильные понятия об одновременном движении двух тел. Важно, чтобы дети уяснили, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние [31, с.67].
Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение. Целесообразно на одном уроке ввести все 3 вида, получая новые задачи путем преобразования данных в обратные. Такой прием позволяет детям самостоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решенной детьми.
На последующих уроках проводится работа по закреплению умения решать задачи рассмотренных видов.
Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой их них придет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др.?
Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин, катеров и т.д.) при одновременном выходе их одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже может на одном уроке решать три взаимообратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решений.
На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач.
Таким образом, рассмотрев основные положения методики работы над составными задачами в школе, приходим к следующим выводам.