6. Внутри, какого параллелограмма существует точка, равноотстоящая: 1) от всех его вершин, 2) от всех его сторон?
7. Построить параллелограмм по высоте и диагонали. Сколько решений имеет задача?
8. Построить прямоугольник по диагонали и сумме двух других сторон.
9. Построить параллелограмм по двум сторонам и высоте.
10. Построить квадрат по диагонали.
Тематическое повторение непременно должно предшествовать заключительному повторению в конце четверти или учебного года. Без выполнения этого этапа повторения невозможно успешное осуществление заключительного повторения.
Повторение, проводимое на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляемое в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом, мы будем называть заключительным повторением.
Цели тематического повторения и заключительного повторения аналогичны, материал повторения (отбор существенного) весьма близок, а приемы повторения в ряде случаев совпадают.
Заключительное повторение в конце учебного года проводится также по темам, однако здесь из темы берется наиболее существенное, материал темы более суживается. Если при тематическом повторении сравнение проводится в рамках этой темы, то при заключительном повторении сравнение математических явлений проводится на более широком материале, и путем такого сравнения учащимся показывается связь между разделами курса.
Такое повторение способствует большему осознанию пройденного, указывает на связь различных разделов курса и одновременно дает возможность обозреть большой материал, создавая представление о системе математики.
Заключительное повторение должно помочь учащимся обобщить известные им знания, обозреть полученные знания в определенной идейно направленной системе, выявить внутренние логические связи между соответствующими отделами предмета, прочно закрепить пройденное.
Таким образом, заключительное повторение учебного материала преследует цели:
1. Обозрения основных понятий, ведущих идей курса соответствующего учебного предмета; напоминания в возможно крупных чертах пройденного пути, эволюции понятий, их развития, их теоретических и практических приложений.
2. Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.
3. Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу, присоединения к изученному материалу предшествующих лет обучения новых знаний допускаемых программой, с целью его углубления [3].
Уроки по заключительному повторению, как и любой другой урок, должны быть весьма тщательно продуманы как с точки зрения содержания, так и организации их. При этом они могут быть проведены по плану, не совпадающему с планом первоначального изучения. На уроках заключительного повторения должны широко использоваться сопоставления, сравнения и аналогии; постановка самих вопросов по своему характеру должна заставлять несколько по-иному осмысливать прежний материал.
Рассматривая вопросы организации повторения, нельзя увлекаться внесением новизны. Элементы новизны, вносимые при заключительном повторении, не должны наслаивать на основной материал новые, еще не осознанные факты, в равной мере это замечание относится к чрезмерному разнообразию уроков повторения; повторение нельзя отрывать от тех методов, которыми учитель пользовался на обычных уроках [3].
Примером такого вида повторения может служить заключительное повторение курса планиметрии. Это повторение преследует цель систематизировать и обобщить ранее изученные свойства плоских фигур.
Систематизацию знаний и умений, учащихся удобно построить в три этапа.
На первом этапе рассматривается учебный материал, отражающий свойства одной из основных фигур планиметрии — треугольника: повторяются теоремы о свойствах и признаках различных треугольников, в результате чего систематизируются умения учащихся проводить доказательные рассуждения.
На втором этапе повторения учебный материал группируется вокруг многоугольников. Особенностью второго этапа является отработка умений учащихся проводить поиск логических закономерностей и обоснований свойств геометрических фигур на более сложных, по сравнению с первым этапом, геометрических конфигурациях. Кроме того, здесь неизбежно еще раз повторяются свойства треугольников.
На третьем этапе повторяются свойства окружности (круга) и ее элементов. Этот этап подводит итог изучения курса планиметрии.
Содержание повторения
Первый этап
1. Определение треугольника и его элементов.
2. Понятие о равных треугольниках.
3. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
4. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Признак равнобедренного треугольника. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
5. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника и его свойства.
6. Средняя линия треугольника. Теорема Фалеса.
7. Теорема Пифагора. Следствия из теоремы Пифагора. Решение прямоугольных треугольников.
8. Признаки подобия треугольников.
9. Решение и построение треугольников. Теорема синусов. Теорема косинусов. Неравенство треугольника. Векторы.
10. Площадь треугольника.
Учебный материал этого этапа относится в основном к началу изучения курса планиметрии. Отсюда вытекает необходимость напомнить учащимся некоторые логические рассуждения. Например, схему доказательства от противного, структуру прямого и обратного утверждении, что такое свойство фигуры и что такое признак. К тому же треугольник является одной из основных фигур в планиметрии, поэтому многие факты: определения, формулировки теорем, формулы для вычисления элементов треугольника хорошо известны учащимся. Исходя из этого, можно за основную форму организации повторения на первом этапе принять обзорные лекции, в которых следует кратко осветить весь теоретический материал, обращая внимание на логику и поиск доказательств.
Лекции иллюстрируются и дополняются решением задач: на лекции вместе с учителем либо самостоятельно на специально выделенных уроках.
Второй этап
1. Определение параллелограмма. Признаки и свойства параллелограмма Определение прямоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника. Определение ромба. Свойство диагоналей ромба. Квадрат Трапеция, средняя линия трапеции
2. Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника Внешний угол многоугольника Правильные многоугольники.
3. Площадь прямоугольника, параллелограмма, трапеции, произвольного многоугольника.
Так как материал этого этапа в основном использует свойства треугольника, повторение которых прошло на первом этапе, рекомендуется проведение уроков в виде бесед, в ходе которых учащиеся под руководством учителя доказывают основные теоремы и решают задачи.
Третий этап
1. Определение окружности и ее элементов.
2. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.
3. Углы, вписанные в окружность. Центральный угол и его мера.
4. Окружность, вписанная и описанная около правильного многоугольника. Формулы, выражающие соотношения между стороной правильного многоугольника и радиусом вписанной (описанной) окружности.
5. Длина дуги окружности.
6. Круг. Площадь круга. Площадь кругового сектора. Площадь кругового сегмента.
Повторение содержания этого этапа рекомендуется провести в процессе самостоятельной работы учащихся, которая включает в себя: составление конспектов теоретического материала по плану, предложенному учителем, и решение рекомендованных задач по карточкам. Фактически третий этап повторения является контрольным. Здесь проверяются и корректируются умения и навыки учащихся проводить доказательные рассуждения и применять весь багаж знаний по планиметрии в ходе решения задач. На этом этапе учитель выступает в роли консультанта и проводит индивидуальную работу с учащимися [10; 11].
Повторение можно классифицировать в зависимости от содержания повторяемого материала: повторение, проводимое на уровне понятий, на уровне системы понятий, на уровне теорий. Это дает возможность осуществлять дифференцированный подход к учащимся, учитывать их возрастные и индивидуальные особенности [5].
Обобщающее повторение на уровне понятий вбольшей степени приемлемо в группе слабоуспевающих учащихся, а обобщающее повторение па уровне теорий — в группе наиболее подготовленных учащихся. При работе со слабыми учащимися не следует пассивно приспосабливаться к их слабым сторонам, необходимо активно воздействовать на их умственное развитие, чтобы ученики постепенно переходили к наиболее оптимальному процессу обучения. Ученика, достигшего определенных положительных сдвигов в учении, надо как можно быстрее вводить в общий ритм работы класса, оказывая при этом необходимую помощь.
При обобщающем повторении на уровне понятий сопоставляются изученные понятия, школьники учатся переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков, давать определение понятию, принимая за основу (если это возможно) другое родовое понятие, отличное от того, которое содержалось в исходном определении понятия. В процессе этой работы у учащихся вырабатываются умения сравнивать понятия по схеме: выделение признаков понятий нахождение различных, а затем сходных признаков, сопоставление понятий по этим признакам. Основными методами работы на таких уроках являются методы наблюдения и сравнения.