Особенности применения технологии квантового обучения в преподавании математики (стр. 11 из 13)

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпуклые многогранники. На рисунке изображен невыпуклый многогранник, составленный из восьми многоугольников.

Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°. Рисунок 70 поясняет это утверждение: многогранник «разрезан» вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуты так, что оказались расположенными в одной плоскости а. Видно, что сумма всех плоских углов при вершине А, т. е.

.

На этом мы закончим наше сегодняшнее занятие, жду всех вас на следующем.

< Повторное проведение аутотренинга, музыка в конце сменяется на ритмичную>

Занятие 2

<аутотренинг>

Призма.

Рассмотрим два равных многоугольника и A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_nрасположенных в параллельных плоскостях α и β так, что отрезки А₁В₁, А₂В₂, ..., А_пВ_п, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис.71).

Каждый из п четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nА₁B₁B_nявляется параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике A₁A₂B₂B₁ стороны А₁В₁и А₂В₂параллельны по условию, а стороны А₁А₂и В₁В₂— по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A₁A₂...A_n и В₁В₂...В_п, расположенных в параллельных плоскостях, и п параллелограммов, называется призмой (см. рис. 71).

Многоугольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n называются основаниями, а параллелограммы — боковыми гранями призмы. Отрезки А₁В₁ А₂В₂, ..., А_пВ_пназываются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n обозначают А₁А₂...A_nB₁B₂...B_nи называют п-угольной призмой. На рисунке 72 изображены треугольная и шестиугольная призмы, а на рисунке 1б — четырехугольная призма, т. е. параллелепипед.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, впротивном случае — наклонной. Высота прямой призмы равна еебоковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники. На рисунке 72 изображена правильная шестиугольная призма.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы — сумма площадей ее боковых граней. Площадь

полной поверхности выражается через площадь боковой поверхности и площадь S_0CH основания призмы формулой:

.

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Теорема.Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство.Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, основания которых — стороны основания призмы, а высоты равны высоте hпризмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель hза скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр Р. Итак, S_6oк=Ph. Теорема доказана.

Пирамида.

Рассмотрим многоугольник A₁A₂...A_nи точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника, получим п треугольников (рис. 73): РА₁А₂,, РА₂А₃,, ...,РА_пА₁.

Многогранник, составленный из п-угольника А₁А₂...А_пи п треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A₁A₂...A_nназывается основанием, а треугольники — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА₁,, РА₂,, ..., РА_п— ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием A₁A₂...A_n и вершиной Р обозначают так: РA₁A₂...A_n— и называют n-угольной пирамидой. На рисунке 74 изображены четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида — это тетраэдр.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 73 отрезок РН — высота пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды — сумма площадей ее боковых граней. Очевидно,

Правильная пирамида.Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой (рис. 75).

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду РА₁А₂...А_п(рис. 75). Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим — радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро РА₁— гипотенуза треугольника ОРА₁в котором OP=h, OA₁ = R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно

, поэтому РА₁=РА₂ = ... = РА_п.

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды РА₁А₂...А_правны друг другу, поэтому боковые грани — равнобедренные треугольники.

Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A₁A₂...A_n— правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке 75 отрезок РЕ — одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство.Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведении сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель

d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр. Теорема доказана.

Усеченная пирамида.Возьмем произвольную пирамиду РА₁А₂...А_пи проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В₁, В₂,,.... В_п(рис. 76). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются п-угольники А₁А₂...А_пи В₁В₂...В_п (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и п четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…,А_пА₁В₁В_п (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Отрезки А₁В₁, А₂В₂, ..., А_пВ_пназываются боковыми ребрами усеченной пирамиды.