Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах (стр. 22 из 25)

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині):

. За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

Картка № 3

Теорема. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що містить ці точки.

Наслідок. Пряма і площина

не перетинаються

(немає спільних точок) перетинаються

(мають одну спільну точку)

(принаймні дві

спільні точки)

Розглянуті способи задання площини часто використовують під час побудови перерізів многогранників. Найпростішими з многогранників є куб, паралелепіпед (усі грані – паралелограми), тетраедр або трикутна піраміда (усі грані – трикутники). Якщо всі грані паралелепіпеда – прямокутники, його називають прямокутним паралелепіпедом. Якщо всі ребра тетраедра рівні, його називають правильним тетраедром.

Якщо жодна з двох точок не належить площині, а відрізок, що їхсполучає, має з цією площиною спільну точку, то говорять, що дані точки лежать по різні боки від площини. А якщо принаймні дві точки многогранника лежать по різні боки від площини, говорять, що площина перетинає многогранник. У цьому разі її називають січною площиною. Фігура, яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної площини, називається перерізом многогранника даною площиною (учні демонструють моделі).

V. Висновки до уроку

Домашнє завдання.

Тестові завдання

1. а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які і просторовими?

1) трикутник; 2) чотирикутник;

3) п'ятикутник; 4) шестикутник.

б) Наведіть приклади фігур, які можуть бути як плоскими, так і просторовими.

2. а) Доведіть, що вершини паралелограма АВСДлежать в одній площині.

б) Дано замкнену ламану АВСДА. Відомо, що відрізки АС і ВД перетинаються. Доведіть, що вершини ламаної лежать в одній площині.

3. а) Дано дві прямі а і в, через які не можна провести площину. Доведіть, що ці прямі не перетинаються.

б) Доведіть, що дві прямі у просторі не можуть перетинатися більше, ніж в одній точці.

4. а) Через точку проведено три прямі, які не лежать в одній площині. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, якщо брати їх попарно?

5. б) Через точку проведено чотири прямі, кожні три з яких не лежать в одній площині. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, якщо брати їх попарно?

6. Точки А, В, С, Д не лежать в одній площині. Доведіть, що:

а) прямі АВ і СД не перетинаються;

б) прямі АС і ВД не перетинаються.

7. а) Три площини перетинаються попарно. Скільки утвориться ліній перетину?

б) Три прямі, що не лежать в одній площині, проходять через одну точку. Через кожні дві з них проведено площину. Скільки всього проведено площин?

Для класів з поглибленим вивченням математики

Тема. Аксіоми стереометрії, найпростіші геометричні тіла.

Взаємне розташування прямих у просторі.

Взаємне розташування прямих і площин у просторі

МЕТА

Мета теми – розширити і систематизувати відомості про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі. Дати систематизовані знання про паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, сформувати вміння застосовувати відповідні властивості й ознаки до розв’язування задач.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

У результаті вивчення теми учні повинні вміти:

- застосовувати аксіоми та наслідки з них до розв’язування геометричних і практичних задач;

- доводити властивості й ознаки паралельності прямих і площин та застосовувати їх до розв’язування задач;

- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

- обчислювати відстані і кути у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Основні поняття і аксіоми стереометрії. Техніка виконання найпростіших стереометричних креслень. Паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що перетинаються. Напрям у просторі. Визначення кута між мимобіжними прямими.

Паралельність прямих і площин. Паралельне проектування та його властивості. Паралельність площин. Просторова теорема Фалеса.

Перпендикулярність прямих і площин. Перпендикуляр і похила до площини. Перпендикулярні площини. Ортогональне проектування. Відстані у просторі. Кут між прямою і площиною. Двогранні та многогранні кути.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з основних цілей вивчення стереометрії є усвідомлення учнями структури логічної побудови стереометрії. Обов’язковим завданням є розвиток логічного мислення, просторової уяви, абстрактного мислення, а також ілюстрація зв’язку з реальним життям.

Курс стереометрії по відношенню до курсу планіметрії є систематизуючим і узагальнюючим. Багато тем зі стереометрії розглядається за аналогією з відповідними темами з планіметрії (вектори, координати).

У 10 класі відбувається складний процес переорієнтації в свідомості учнів: раніше всі фігури розглядалися на одній площині, тепер і сама площина стає об’єктом, самостійною фігурою і водночас носієм всіх плоских фігур з їх численними властивостями.

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень, залучення учнів до їх виготовлення. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

Іншим ефективним засобом формування просторових уявлень учнів є використання системи усних вправ. Вони сприяють введенню нових понять і закріпленню вже відомих. Важливе місце треба відвести навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати нескладні побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних елементів фігур (медіан, середніх ліній та ін.), точок перетину прямої і площини, двох площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра, використанню креслень і малюнків у без клітинному зошиті з використанням різних кольорів. Безумовно ці тіла повинні з’явитися якомога раніше, тому що на них зручно ілюструвати усі поняття і твердження.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних фігур і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Корисним є вироблення необхідності обґрунтовувати всі положення і розвиток інтуїції. Постійно необхідно пропонувати учням самостійно працювати на уроці і вдома, в тому числі самостійне вивчення питання з наступним виступом біля дошки.

Труднощі перших уроків стереометрії полягають в тому, що учням необхідно оперувати тільки такими геометричними фігурами, як площина, точка, пряма. Усунення цих труднощів є можливим за рахунок введення многогранників. Підсумкові уроки можна проводити як у формі конференції, так і у формі узагальнюючої лекції.

Конспект уроку

Тема уроку. Виникнення і розвиток стереометрії. Аксіоми та наслідки з них.

Мета уроку: розширити і систематизувати відомості учнів про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі.

Освоївши матеріал уроку учні повинні:

знати:

- аксіоми стереометрії та наслідки з них;

- аксіоматичну побудову геометрії;

вміти:

- застосовувати аксіоми та наслідки з них до розв’язування геометричних і практичних задач.

Хід уроку

І. Вступ

Логічна побудова геометрії

Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують певним колом понять, вивчають їх властивості і відношення між ними. Наприклад, фізика вивчає такі поняття, як рух, швидкість, маса, теплота, струм тощо. Граматика оперує поняттями: речення, прикметник, дієслово тощо. Геометрія – це наука про властивості геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як геометрична фігура.

– Які ви знаєте види фігур?

Наприклад, трикутник, круг, куб.

– Які відношення між фігурами вивчає геометрія?

Такі відношення між фігурами, як рівність, подібність, паралельність, перпендикулярність.

– Назвіть розглядувані перетворення фігур.

Наприклад, симетрія, поворот, подібність.

– З якими геометричними величинами має справу?

Це довжини відрізка, кола, градусна міра кута, площа, об'єм.

На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побудові. Вона побудована дедуктивно.

– Що це означає?

Дедукція (від лат. deduction – виведення) у широкому розумінні – це така форма мислення, коли нова думка виводиться суто логічно з деяких даних думок-посилань. У вужчому розумінні дедукція – це такий умовивід, внаслідок якого одержуються нові знання про предмети або групи предметів на основі вже наявних знань про досліджувані предмети.