Особливості вивчення теми "Дроби" в початковій школі (стр. 3 из 8)

1.2 Історичний корінь «Наочної концепції дробу»

Як показує історія становлення основних математичних понять, зокрема

поняття числа, дійсна необхідність у дробах виникла при вимірюванні величин за

допомогою обраної одиниці [8; 239]. «...Історично дроби виникли у зв'язку з потребою вимірювати». Вимірювання різних величин за допомогою обраних мір (одиниць) показувало людям, що вираження його результату цілими числами найчастіше носить наближений характер. Для уточнення результатів вимірювання необхідно було вибирати інші, менші одиниці, які мали певне відношення до колишнього. «Таким чином, практика привела людину до необхідності використання різних одиниць, а з відношень одиниць цих конкретних мір виникло абстрактне поняття дробу» [8; 240].

Дробові числа широко застосовувалися древніми єгиптянами, вавилонянами, індусами, потім греками, а в середньовіччя - арабами. При цьому є підстави думати, що й у математиці як науці дроби спочатку розглядалися у зв'язку із задачами виміру величин. Так, стародавні греки раціональний дріб виду

навіть не називали числом - це було для них відношення, розгляд якого поклало початок теорії звичайних дробів [8; 243]. Виклад звичайних дробів, даний Симоном Стевином наприкінці XVI в., супроводжувався виданням праці того ж автора про десяткові дроби [8; 245], які традиційно пов'язані з потребами саме вимірювання. Разом з тим уже з XIIст. у працях по арифметиці при описі ділення чисел з остачею дроби розглядаються як частини чисел (ця точка зору може бути вловлена ще в єгиптян) [8; 255].

Аж до ХVП-ХVПІст. у математиці вироблялися самі правила дій із дробовими числами. У підручники європейських шкіл викладаннядробів стало проникати в XVIIIст.При цьому Хр. Вольф у своєму керівництві вперше висловлює вимогу про те, щоб закони арифметичних дій, раніше встановлені при обігу із цілими числами, обґрунтовувалися й для дробів. Але методи цього обґрунтування були розроблені тільки в XIXв. [8; 245-263].

Практика дій із самими дробами, вірніше з їх символами, наприклад з вираженням відношення

, поступово приводила до того, що усередині математики форма цих «нових» чисел усе більше й більше відділялась від їхньої першооснови, від вимірювання. «Останній, і самий істотний, крок, - пишуть

Р. Курант і Г. Роббінс, торкаючись цього питання, - був зроблений уже усвідомлено, після багатьох сторіч нагромадження окремих зусиль: символ

був звільнений від його конкретного зв'язку із процесом вимірювання й самих вимірюваних величин і став розглядатися як абстрактне число, самостійна сутність, зрівняна у своїх правах з натуральним числом».

Такий свідомий перехід до розгляду дробів як «самостійної сутності» був зроблений при розв‘язуванні особливих пізнавальних задач, пов‘язаних із внутрішнім розвитком самої математики як теоретичної дисципліни. Справа, в тому, що в межах тільки натуральних чисел не завжди здійсненні операції виділення й ділення. З розвитком математичного апарата виникає теоретична потреба в знятті цих обмежень. «Введення» дробових чисел усувало перешкоди, що заважають виконувати ділення (подібно тому як негативні числа усували перешкоди для виділення), але без порушення основних арифметичних законів (асоціативного, комутативного й дистрибутивного). Подібне розширення області чисел (тут - побудова системи раціональних чисел) є одним із проявів основного способу утворення нових понять у сучасній алгебрі [9; 8]. Це - «одна з форм характерного в математиці процесу узагальнення».

Ця форма узагальнення й відповідний їй алгебраїчний спосіб утворення нових понять був розроблений в XIXст. («принцип сталості формальних законів»). Потім в абстрактній формі цей спосіб розширення числової області застосовується в теорії пар, що використається, зокрема, і для введення дробових чисел. Якщо операція над двома числами неможлива в області наявних чисел, то вводиться новий символ у вигляді пари колишніх чисел (а,в, для якої встановлюються визначення рівності, більше, менше й т.д. Якщо арифметичні дії над новими символами підкоряються законам дій над колишніми, тонові символи визнаються числами [8; 264].

Теорія пар прийнята в сучасній математиці, дозволяє логічно бездоганно будувати числові системи без якого-небудь звертання до «конкретної дійсності», у випадку раціональних чисел - без звертання до вимірювання. Вона стала потужним знаряддям теоретичного дослідження й, природно, уважається єдино й справді науковою.

Ця установка в теорії числових систем поступово стала проникати й поширюватися на викладання математики як у вищих, так й у середніх навчальних закладах. Цілком природне прагнення педагогів до відновлення курсу математики приводило до того, що зазначений підхід до введення чисел став сприйматися як єдино сучасний і строгий. Створилася ситуація, що ще в 30-і роки була в такий спосіб охарактеризована А. Н. Колмогоровим: «...Дуже поширена думка, що найбільш «науковим» підходом до введення раціональних чисел є підхід з боку довільного розширення області цілих чисел для досягнення необмеженої реалізації дії ділення... Часто учням повідомляють помилкові твердження, що справді наукова побудова раціональних чисел не повинна мати нічого загального з вимірюванням величин. Часто говорять, що правила дії над дробами є лише «зручні угоди», що зберігають незмінними закони дій» [9; 8-9].

Однак зазначена думка, розповсюджена серед методистів, послужила причиною того положення речей, коли вимірювання величин як джерелодробів стало ігноруватися. Це відношення до реального вимірювання було б, видимо, правомірним, якби традиційний зміст шкільної математики змінився б настільки, що злився б з поняттями абстрактної алгебри як навчанні про операції. Але тоді, звичайно, це був би інший навчальний предмет, з іншими загальними освітніми цілями, у якому, до речі, різні види чисел мали б й іншу пізнавальну цінність, чим у нинішньому навчальному предметі. Однак так далеко ні в недалекому минулому, ні в найближчому майбутньому перебудова курсу не зайшла й не зайде. Цей курс усе ще далекий від способів утворення понять у загальній (абстрактній) алгебрі, що у свій час саме й було відзначено А. Н. Колмогоровим: «Вся ця концепція занадто абстрактна не тільки для того, щоб у явному вигляді викладатися в середній школі, але й для того, щоб служити опорою для вчителя в цьому викладанні». І потім він констатує справжнє положення речей: «У дійсності, звичайно, ніхто й не намагається викладати в школі ідеї сучасної абстрактної алгебри» [ 9;9].

Іншими словами, хоча ідеї абстрактної алгебри в школі й не викладаються, однак їхній непрямий вплив на спосіб введення раціональних чисел у наявності. Варто мати на увазі, що такий вплив зовні виразився як негативно (ігнорування виміру), так і позитивно - через ідею про те, що одним із джерел дробів є ділення самих чисел. Оскільки ця дія загальноприйнята, а випадки ділення з остачею або при наявності діленого,, що менше дільника, часті, то в принципі неважко задачі такого ділення поставити у зв'язок з поняттям «числової пари», скористатися відсвітом алгебраїчного способу розширення числової області. Але саме його відсвітом, зовнішньою подібністю, а не суттю, що вимагає інших підстав, чим ті, які можуть бути поки дані в школі.

Таким чином, поряд з вимірюванням у методиці булозазначено ще одне і справді математичне джерело дробів - ділення чисел. Переважне положення цього джерела підкріплювалося ще тією загальною тенденцією, що властива всьому викладанню математики і яку А. Н. Колмогоров описав так: «...На різних щаблях навчання з різним ступенем сміливості незмінно проявляється та сама тенденція: можливо скоріше справитися із введенням чисел і далі вже говорити про числа й співвідношення між ними» [9; 10]. При наявності такої тенденції співвідношення цілих чисел, наявні в діленні, були, звичайно, зручною підставою для знайомства учнів із дробами.

Але тут необхідно було враховувати й фактори психологічного характеру. П'ятикласникам, а тим більше молодшим школярам, не можна задати в чисто знаковому, символічному плані принцип того ділення, що приводить до дробів. Потрібно було знайти його наочний корелят. У цій ролі й виступило так зване ділення самих речей, їхній поділ на частини, що у ході навчання може бути відносно легко пов‘язане з термінами, характерними для визначення звичайних дробів. Так цілком закономірно виникла «наочна концепція дробу», описана вище. Досить хитрими шляхами в історії викладання математики справжнє джерело утворення дробів - вимірювання - було замінено у дидактичних цілях сурогатом ділення чисел, так називаним «діленням речей». Подібна концепція одержала широкий резонанс не тільки в середніх навчальних закладах, а й у молодших класах, тим більше що тут немудро було зв'язати виділення «часток» з життєвим досвідом дитини в поділі предметів, наприклад у розламуванні яблук або розрізуванні кавунів.

1.3 Вимірювання величин як предметне джерело дробу

Чи зберігає вимірювання не тільки історичне, але й актуальне дидактичне значення при введенні дробів? Багато чого промовляє на користь позитивної відповіді на це питання. Так, розглянемо міркування, висловлені ще на початку століття найбільшим німецьким математиком Ф. Клейном, що спеціально зіставляв можливі шляхи введення дробів. Аналізуючи прийняту тоді в школі методику навчання дробам, він підкреслював той момент, що в порівнянні із цілими числами тут насамперед міняється субстрат наочних образів, якими інтерпретуються дробові числа, а саме «від кількості предметів ми переходимо до вимірювання, від предметів, що підлягають рахунку, ми переходимо до предметів, що підлягають вимірюванню».