Особливості вивчення теми "Дроби" в початковій школі (стр. 4 из 8)

Далі Ф. Клейн шкільну методику порівнює з «новою» постановкою питання, з «сучасним викладом», у якому на перший план виступає «формальна сторона справи» і загальні властивості дробу як «числової пари». У цій новій постановці, указує Ф. Клейн, ми «залишаємося цілком на ґрунті цілих чисел». Відомими передбачаються тільки цілі числа й дії над ними. Нові числа (дробові) визначаються як числові пари, а операції над ними - суть операції над цілими числами. Ніяких принципово нових «наочних подань» тут не дається, і вони не потрібні. На противагу цьому «шкільний же виклад істотно опирається на нове наочне подання про вимірювані величини, що дають безпосереднє інтуїтивне уявлення про дроби». Потім Ф. Клейн наводить гарний приклад, що пояснює розходження «шкільної» й «нової» постановки питання: «Уявимо собі істоту, що володіє тільки ідеєю про ціле число й зовсім не знає вимірювання. Для такої істоти шкільний виклад здавався б зовсім незрозумілим.

Яка із цих точок зору краще? «Нова точка зору, безсумнівно, чистіше, але втой же час і бідніше», - відзначає Ф. Клейн. Вона дає тільки абстрактне, логічно точне введення дробів, але залишає відкритим не менш важливе питання: чи застосовна ця теоретична побудова «до вимірюваних величин, з якими нам доводиться мати справу”. Це питання в самій математиці може розглядатися самостійно. «Уявляється, однак, сумнівним, - указує Ф. Клейн, - чи можна такий поділ вважати за доцільне й з педагогічної точки зору».

Отже, позицію Ф. Клейна можна охарактеризувати в такий спосіб. По-перше, з його погляду, підхід до дробів як до пар цілих чисел хоча логічно й більше чистий, чим підхід з боку вимірювання, але й більш бідний, тому що не забезпечує застосування нових символів до вимірювання величин, «до зовнішнього світу». Саме цей недолік відсутній у шкільній традиції. По-друге, логічно чистий підхід не виводить людини за межі поняття про ціле число, не формує в неї належних наочних уявлень, що лежать в основі своєрідності дробів. Опора на вимірювання створює ці своєрідні уявлення, які досить істотні для практичної діяльності з величинами. По-третє, він захищає й підтримує педагогічну точку зору, відповідно до якої в основі переходу від цілих чисел до дробів повинне лежати нове уявлення учнів про вимірювані величини.

Досить оригінальну позицію в проблемі введення чисел у школі займав видатний французький математик А. Лебег. Він думав, що після натуральних чисел на основі виміру потрібно відразу переходити до походження й природи всієї області дійсних чисел (до нескінченних десяткових дробів), минаючи вивчення звичайних і навіть кінцевих десяткових дробів [9; 27].

Зміст цих поглядів А. Лебега були докладно проаналізовані

А.Н. Колмогоровим у передмові до книги «Про вимірювання величин», у якому він одночасно сформулював і ряд власних ідей про спосіб введення чисел у школі. На мій погляд, цей аналіз повчальний не тільки для викладачів математики й методистів, але й для психологів і дидактиків.

Тут важливий насамперед наступний висновок А. Н. Колмогорова: «Одне з основних завдань книги Лебега полягає в тому, щоб показати, що підхід до побудови раціональних і дійсних чисел з погляду вимірювання величин анітрошки не менш науковий, чим, наприклад, введення раціональних чисел у вигляді «пар». Для школи ж він має безсумнівні переваги. Першою перевагою є відповідність цього підходу історичному розвитку математики й наявному в учнів повсякденному досвіду. Другим же - та обставина, що він робить необхідним введення дійсних чисел» [9;9].

А. Н. Колмогоров вважає, що А. Лебег правий постановці й принциповому рішенні цієї педагогічної задачі. Він також підтримує ідею А. Лебега про те, що для школи існує одна нероздільна задача - привести учнів до можливо більше ясного розуміння концепції дійсного числа. При її рішенні важливо зберегти єдність викладання математики на різних щаблях навчання. Для цього необхідно, щоб у початковій школі учні знайомилися з операцією вимірювання одержуючи з неї кінцеві десяткові дроби. На прикладі періодичних дробів, що виникають при діленні, можна закинути ідею про нескінченний дріб. У середній школі докладніше розбирається питання про точність вимірів, а потім через ряд етапів формулюється загальне поняття дійсного числа [9;9-10; 14-15].

Таким чином, і для А. Лебега, і для А. Н. Колмогорова введення раціональних чисел на основі вимірювання величин не менш наукове ніж у вигляді «пар», крім того, воно відповідає історичному розвитку самої математики. Остання обставина особливо важливі. Справа в тому, що в математиці та й у її викладанні, часто трапляються випадки забуття реального походження понять, що веде до втрати їх первісного матеріального змісту. А. Лебег показав, як тісно ці поняття пов'язані з аналізом реальних процесів вимірювання. Протягом всієї книги він бореться за повернення математичним поняттям їхнього первісного змісту, за з'ясування їхнього реального походження, що .є умовою продуктивного вивчення математики. «У цій боротьбі, - пише А. Н. Колмогоров, - я й бачу основний інтерес книги Лебега» [9;11].

Саме операція вимірювання надає раціональному й дійсному числу первісний матеріальний зміст, тому що ці числа є «знаряддям виміру величин» [10; 73].На основі цієї операції в учнів можна сформувати правильне поняття про раціональні дроби, а потім підготувати ґрунт для переходу до ірраціональних чисел, тобто для роботи у всій області дійсних чисел. При цьому ті самі поняття спочатку повинні будуватися на наочній базі, потім формулюватися вже більш чітко й, нарешті, піддаватися тонкому логічному аналізу (останнє характерно для старших класів).

Як бачимо, загальна лінія, пов'язана із введенням дробів у школі, однакова у Ф. Клейна, А. Лебега й А. Н. Колмогорова. Відповідно до їхніх положень дроби по первісному походженню й матеріальному змісту мають тільки одне джерело вимірювання величин. У їхніх роботах взагалі немає мови про такі джерела, як ділення речей і чисел вимірювання величин й історично, і в сучасному викладанні є цілком повноцінною й перспективною основою введення дробових чисел.

РОЗДІЛ 2. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ДРОБІВ

2.1 Ознайомлення з частками

Ознайомити дітей з частками означає сформувати в них конкретні уявлення про частки, тобто навчити дітей утворювати частки практично. Наприклад, щоб дістати одну четверту частку круга, треба круг поділити на чотири рівні частини І взяти одну таку частину. Щоб дістати одну п'яту частку відрізка, треба поділити його на п'ять рівних частин і взяти одну таку частину.

Щоб сформувати правильні уявлення про частки, треба використати достатню кількість різних наочних посібників. Як показав досвід, найзручнішими посібниками є геометричні фігури, вирізані з паперу; можна використати рисунки фігур., виконані на папері або в діапозитивах (круги, прямокутники, трикутники, бруски, відрізки тощо). Дуже важливо, щоб посібники були не тільки в учителя, а й у кожного учня. Правильні уявлення про частки, а пізніше про дроби будуть сформовані тоді, коли учні своїми руками діставатимуть, наприклад, половину круга, квадрата тощо, чверть відрізка і т.д.

Покажемо, як можна ознайомити дітей з частками.

У кожного з учнів і в учителя є по кілька однакових кругів, прямокутників (квадратів).

Візьміть два однакові круги. Один з них поділіть на дві рівні частини (показує, як треба перегнути і як розрізати круг). Це один круг, а це - половина круга, інакше кажучи, одна друга частка круга. Скільки других часток у цілому крузі? (2.) Покажіть їх. Візьміть квадрат. Як дістати одну другу частку, чи половину квадрата? (Поділити його на дві рівні частини і взяти одну таку частину.) Виконуйте.

Учні можуть це зробити різними способами, наприклад: розрізати квадрат по діагоналі і дістати два рівні трикутники або розрізати квадрат по середині лінії, тоді утвориться два прямокутники. Деякі учні можуть запропонувати й інші способи поділу квадрата на дві рівні частини (Рис. 2).

Рис. 2

Як дістали одну другу частку круга? (Поділили круг на дві рівні частини і взяли одну таку частину.) Як дістали одну Другу частку квадрата? Як інакше називають одну другу частку круга, квадрата? (Половина круга, половина квадрата.) Скільки половин круга в цьому крузі? (2.)

Учні накладають половини круга на цілий круг.

Частки записують за допомогою двох чисел. Одну другу частку круга, квадрата позначають так:

. Число 2 показує, що круг, квадрат або іншу фігуру (чи предмет) поділено на 2 рівні частини, а число 1 показує, що взяли одну таку частину.)

Учні записують на половинах круга «

» і пояснюють, що показує в цьому записі кожне число.

Так само утворюють частки

та ін.

При цьому учні повинні усвідомити, що для того, щоб дістати, наприклад,

відрізка (прямокутника, паперової смужки тощо), треба цей відрізок (прямокутник, смужку) поділити на 5 рівних частин і взяти одну таку частину; що в цьому відрізку (прямокутнику, смужці) 5 п'ятих часток; що одну п'яту частку записують так: ; що в цьому записі число 5 означає, на скільки рівних частин поділили відрізок (прямокутник, смужку), а число 1 показує, що взято одну таку частку. Для закріплення цих знань і умінь учням пропонують різні вправи.