Ход урока.
| Деятельность учителя | Деятельность ученика |
| – Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась? – Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве?– Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». | – В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии.– Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. |
| – Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»? – А какие задачи решали?– Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь?– А что значит привести знания в систему?– Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока? – Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему. | –Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.– Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы. – Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе.– Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения.– Перпендикулярность прямых и плоскостей. |
| – Перпендикулярность каких объектов мы изучили?– Будем работать с таблицей. < Открывает заголовок таблицы 1>– Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными?– Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок>– Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали?– Сформулируйте ее. < Открывает рисунок>– Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения.< Открывает рисунок>– В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их.<Открывает соответствующие рисунки>– В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. А как вы думаете почему?–Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными?–Какие факты можно отнести в эту часть?– Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7.–Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …». <Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев> | – Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.– Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 .– Они могут пересекаться и скрещиваться.– Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.<Формулируют>– Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.– Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>.– Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>.– Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>.– Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости.– Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 .–Признак перпендикулярности двух плоскостей.- Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости.Две прямые в пространстве перпендикулярны, если- одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна;- одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости;- одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой.<Ученики формулируют следующие эвристики:Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если- прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;- прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости;- данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой.Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. > |
| –Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства.– Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй – перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут.– Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик>–Хорошо. Послушаем теперь второй ряд.–Третий ряд, пожалуйста. | <Работают>< Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали>– DO^AB (DO^ABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности, перпендикулярно АВ)– DO^AC, DO^BC (аналогично)– DC^AB(по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).–DO^ABC(по условию).–AB^COD,CO^ADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).–DAB^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)–DOC^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)–DOC^ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей). |
| – Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними. | |
| Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»><Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице>–Что называется расстоянием от точки до прямой?–Какие еще расстояния можете назвать?– Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний. – То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице.– Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»> – Опишите это понятие.<Открывает соответствующий рисунок>– Какие еще углы вы знаете?– Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников. | – Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой.– От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости.– Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой.– Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.– Между параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой.– Между скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой.– Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник. – Угол между прямыми.– Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними.– Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.– И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении. |
| – Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление. – Начнем с первого задания.– Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай.–Второй ряд, пожалуйста.–И последний угол?–Дорешаете дома.–Следующее задание. Найдите расстояния от т.D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку.–Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.Эту задачу будем решать на новом рисунке.–Итак, начнем.–Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его. – Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС? – Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости?– То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует?– А через какую точку пройдет проекция наклонной?– Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать?– А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС?– Как найти DК?– Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске.– Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7. – Назовите их и докажите.–Как их найти? | – Так как ОD^АВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно ÐDАО – угол между DА и АВС.– Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ.–Угол между DВ и АВС – это ÐDВО.–Угол между DС и АВС – это ÐDСО.– Так как DО – перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО – искомое расстояние. – Мы доказывали, что СО^DАВ, значит СО–расстояние от С до DАВ.–АВ^DОС, то АО–расстояние от А до DОС.Так как DО перпендикулярно АВ, то DО – расстояние между D и прямой АВ.–АВС.– Наклонной.– Она должна быть перпендикулярной к проекции.– Через точку О, так как она проекция точки D.– Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана правильного ∆АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОК^ВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом DК^ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК–расстояние от точки D до прямой ВС.– Произвольно.– Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК – средняя линия ∆АМВ.– Аналогично, причем DL равно DК.– Они уже построены.–ÐDКО – линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, ÐDLО – линейный угол двугранного угла при ребре АС.– Например, ÐDКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО. |
| – Это все задания, которые мы планировали решить на уроке.– А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. – Какие типы задач нами были рассмотрены?–Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии? | –на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями.–позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами. |
| – Что вы теперь умеете делать?– Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления. | – Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями. |
| Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе. |
Расстояния в пространстве (Таблица 1)