Если искомый элемент (или элементы) принадлежит классу К, определяемому выбранным набором инструментов, то задача является разрешимой при выполнении этими инструментами конечного числа операций.
Отсюда, естественно, следует, что возможность использования большого числа различных инструментов расширяет, вообще говоря, класс конструктивных элементов и тем самым увеличивает число задач, допускающих точное решение.
В теории геометрических построений вопрос о необходимости привлечения произвольных элементов для решения (точного или приближенного) задач на построение рассматривается в ряде работ; на основании теоремы, утверждающей, что при наличии среди заданных элементов двух различных точек класс конструктивных элементов, полученный при использовании циркуля и линейки, образует счетное, всюду плотное множество, доказывается, что любая задача на построение может быть решена при помощи циркуля и линейки без привлечения произвольных элементов либо точно, либо приближенно с любой степенью точности, если среди заданных элементов имеются по крайней мере две различные точки.
Обучение учащихся геометрическим построениям преследует две цели: обучение выполнению собственно геометрических построений и обучение решению задач на построение.
Естественно, что каждому из этих вопросов в различных классах должно быть уделено различное внимание. Рассмотрим первый из них.
В VI классе основное внимание обращается на обучение учащихся выполнению простейших геометрических построений и их систематическому использованию при формировании и закреплении важнейших понятий: перпендикулярность и параллельность прямых, главнейшие линии в треугольнике, симметрия относительно прямой и т. д.
К концу VI класса учащиеся должны получить уже довольно прочные навыки в решении ряда конструктивных задач, включенных в программу VI класса, ценных с практической точки зрения и необходимых для дальнейшего изучения материала.
К этим построениям относятся различные приемы построения отрезка, равного данному, масштабной линейкой или циркулем и линейкой (немасштабной); действия над отрезками (в том числе деление отрезка пополам) при помощи масштабной линейки или циркуля и линейки (немасштабной); приближенное деление угла пополам циркулем; построение угла, равному данному, транспортиром или циркулем и линейкой; построение прямого угла чертежным треугольником; действия, производимые над углами малкой, транспортиром, циркулем и линейкой (немасштабной); построение параллельных и перпендикулярных прямых различными приемами.
Умение фактически выполнять указанные выше построения является совершенно необходимым условием для дальнейшего успешного обучения решению конструктивных задач, так как только при этом условии учащиеся, решая задачи, смогут уделить внимание содержанию и методам их решения, а не только технике выполнения самого построения.
Кроме того, овладение рядом построений способствует лучшему усвоению новых понятий. Так, например, для усвоения таких важных понятий, как высота треугольника, симметрия относительно прямой и т.д., необходимо, чтобы учащиеся умели строить прямыеуглы, перпендикулярные прямые и т. д.
Правильно выполненный чертеж имеет большое значение для отыскания плана решения задач на вычисление и доказательство, и наоборот, неверно выполненный чертеж часто не позволяет «увидеть» нужные соотношения. Более того, неверный чертеж часто направляет мысль учащихся по неверному пути.
В VII классе перед учителем стоят более широкие задачи по изучению и использованию геометрических построений, в том числе решению задач на построение. Продолжается обучение выполнению некоторых новых построений и проводится систематическое закрепление приобретенных в VI классе умений; как и ранее, геометрические построения используются при формировании и закреплении геометрических понятий, а также для доказательства существования некоторых геометрических фигур. (Начало этой работы, доказательство существования определяемых объектов, проводилось в VI классе; понятия медианы, биссектрисы, высоты треугольника, параллельных прямых вводились там на основе построения.)
Новыми построениями для учащихся VII класса являются: построение центрально-симметричных фигур, деление отрезка на равные части, построение окружности по трем ее точкам, деление дуг окружности наравные часта, деление дуг и хорд окружности пополам, проведение касательной к окружности через данную точку.
Все эти построения, выполнение которых в большинстве случаев основывается на материале, изученном в VI классе, используются затем при решении конструктивных задач. Необходимо, чтобы учащиеся умели фактически выполнять их при любом взаимном положении заданных элементов.
В VII классе продолжается формирование умений учащихся выбирать различные приемы построения в зависимости от условия задачи. Так, например, перед ними может быть поставлен вопрос, каким способом они будут проводить через данную точку касательную к данной окружности, если:
а) точка лежит вне окружности и центр окружности неизвестен,
б) точка лежит на окружности и центр окружности неизвестен,
в) точка лежит на окружности, а центр окружности находится вне чертежа.
Построение касательных для всех этих случаев учащиеся не должны заучивать. Они должны лишь представлять, как нужно поступить в зависимости от условия задачи, какие соотношения между искомыми и данными, элементами надо использовать для построения.
В VIII классе число новых построений весьма ограничено – это деление отрезка в данном отношении, построение фигур, подобных данным, построение углов по заданным значениям их тригонометрических функций и построение правильных многоугольников. Таким образом, основное внимание здесь уделяется закреплению ранее изученных построений и решению задач на построение.
При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.
Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большом кропотливой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение – совершенно новый для учащихся вид работы. Во многих случаях отыскание хода решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.
Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоятельности в отыскании решения.
С первых уроков геометрии, подводя учащихся к решению задач на построение, надо обеспечивать им некоторую самостоятельность, а тогда, когда это необходимо, направить мысль учащихся на желаемый путь. Иногда, может быть, даже следует создать у учащихся иллюзию самостоятельности с тем, чтобы придать им уверенность в работе, заинтересовать их решением задач.
Мера самостоятельности в работе, выполняемой учащимися, должна определяться учителем, исходя из их возраста, подготовки, сложности решаемой задачи.
Продумывая систему работы по обучению школьников геометрическим построениям, особое внимание следует уделить методике обучения решению задач на построение.
Для подготовки учащихся к возможно более самостоятельному решению задач на построение целесообразно в ряде случаев вначале предлагать учащимся задачи подготовительного характера. Они могут быть как на построение, так и на вычисление, и на доказательство. Ниже приводятся три примера использования вспомогательных задач.
Пример:
Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.
Угол АВС равен 620. Через вершину угла проведена прямая МN, перпендикулярная его биссектрисе. Вычислить углы, которые образует эта прямая со сторонами угла.
Пример:
Через точку Р, данную внутри угла АВС, провести прямую, отсекающую от сторон угла равные отрезки.
Стороны угла пересечены прямой, перпендикулярной его биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон угла, отсекаемые этой прямой, равны.
Пример:
Две точки А и В находятся по одну сторону прямой L. На прямой L найти такую точку С, чтобы сумма расстояний АС и ВС была наименьшей.
Отрезок АС перпендикулярен прямой L и делится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на прямой L. Доказать, что точка В находится на одинаковом расстоянии от точек А и С.
Такая подготовительная работа важна в начале обучения решению задач потому, что у учащихся VI-VII классов еще очень слабы связи между различными фактами, изучаемыми в геометрии. Кроме того, на первых порах нельзя допускать нагромождения трудностей. Необходимо работу учащихся сделать насыщенной, но посильной.
Иногда полезно от решения практической задачи перейти к задаче на построение. Здесь некоторая сюжетная задача (а стало быть, более понятная) будет сведена к математической.
В некоторых случаях к одной и той же задаче полезло обращаться несколько раз, с тем чтобы показать учащимся различные способы ее решения.