Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение (стр. 21 из 28)

Заметим, что и при решении задач на доказательство или вычисление учащимся нередко нужно для построения правильного чертежа также проводить исследование. Часто необходимо предварительно выяснить, какой вид данного треугольника (остроугольный или тупоугольный), какие стороны принять равными даннымотрезкам. Например, при решении задачи: «Определить периметр равнобедренного треугольника со сторонами в 7 см и 3 см»вначале нужно установить, что основанием является отрезок длиной 3 см,а не 7 см.

Нередко уже при анализе задач на построение мы вынуждены учитывать различные положения данных и искомых элементов. Например, решая задачу: «Дана окружность и на ней три точки М, N и Р, в которых пересекаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, исходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник», в первую очередь нужно выяснить, что точка N (соответствует биссектрисе) расположена между М и Р, рассматривая дугу MP, меньшую полуокружности.

Приведем еще такой пример: «На окружности даны две точки А и В. Из этих точек провести две параллельные хорды, сумма которых дана». Решение задачи легко свести к построению вписанной трапеции с заданной суммой оснований, вершинами которой являются точки А и В. Но решение зависит от того, будет ли АВ боковой стороной трапеции или ее диагональю. Вновь анализ включает в себя элементы исследования.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, ему и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения – анализу. Анализ – основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании.

2.2.7. Методы решения задач на построение.

Метод геометрических мест.

1. Понятие «геометрическое место точек», являющееся синонимом понятия «множество», одного из основных понятий современной математики, вводится в элементарной геометрии исключительно ввиду его наглядности, образности; слово «место» как бы отвечает на вопрос, где «помещаются» точки, обладающие тем или иным свойством.

Знание геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, облегчает нахождение решения для многих практических задач. Например, для решения задач на сопряжение окружностей и прямых, с которыми учащиеся встречаются довольно часто на уроках труда в школьных мастерских при опиливании криволинейных поверхностей (изготовление дуги для лобзика, отвертки, гаечного ключа и т. п.), при изготовлении приборов, пособий для школы, которые они часто делают не по чертежам, а по техническим рисункам, не выполняя деталировки каждой детали, необходимо знать соответствующие геометрические места. Без знания геометрических мест центров окружностей, касающихся данных прямых или окружностей при определенных ограничениях, семиклассники не смогут на уроках черчения понять способы решения задач на сопряжение углов дугами, сопряжение окружности с прямой при помощи дуги данного радиуса и т.п.

Следует учитывать, что понятие «геометрическое место точек» необходимо и в курсе алгебры при изучении графиков простейших функций в VII-VIII классах. График функцииопределяется как геометрическое место точек плоскости, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. Понятие графика необходимо и в курсе физики, где в последние годы все большее значение приобретает графический метод.

В VI-VII классах нельзя отказываться и от решения задач на построение методом геометрических мест, одним из основных методов конструктивной геометрии.

Решая задачи на построение, учащиеся учатся применять свои знания, ибо они должны сами отвечать на поставленные вопросы. В настоящее время главной задачей учителей математики является не столько сообщение математических фактов, определений, формул, теорем, сколько необходимость учить детей мыслить, учить их самостоятельно работать.

2. Учащиеся VI класса не сразу сознательно, глубоко усвоят понятие «геометрическое место точек». Важно, чтобы они с данными словами связывали более полную группу геометрических фигур, чтобы понятие охватывало целый класс, а не один – два отдельных примера. Учащиеся должны видеть различные примеры геометрических мест точек в различных формулировках, чтобы на основе анализа и синтеза осознать общность этого понятия, охватывающего обширный класс геометрических фигур, создать себе соответствующее представление об этом понятии.

Трудным для понимания шестиклассников является и абстрактное понятие «множество». Приводимые примеры множеств (множество учащихся, деревьев в саду и т.п.), в большинстве своем, есть конечные множества, а почти все геометрические места точек, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, являются бесконечными точечными множествами.

3. Понятие геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, вводим на примере геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек. После изучения признаков равенства прямоугольных треугольников решаем задачу: «Найти точку, равноудаленную от двух данных точек А и В» (рис. 27).

Рис. 27

Учащиеся обычно указывают лишь точку О, середину отрезка АВ. А нет ли на плоскости еще точек, равноудаленных от А и В? При построении с помощью циркуля не- скольких таких точек учащиеся самостоятельно припоминают свойство точек оси симметрии и говорят, что точек, равноудаленных от А и В, будет много, все они лежат на оси симметрии данных точек А и В.

Можно непосредственно, основываясь на признаках равенства прямоугольных треугольников, доказать, что всякая точка, равноудаленная от данных точек А и В, лежит на их оси симметрии, то есть на перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ через его середину, и наоборот, всякая точка этого перпендикуляра равноудалена от точек А и В.

После этого даем определение геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, как множества всех точек, обладающих этим свойством, и только таких точек, и предлагаем учащимся сформулировать результат решения задачи и записать в тетради, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек, есть ось симметрии данных точек.

Здесь впервые встречаемся не с отдельной, фиксированной точкой, а с любой точкой прямой. До этого учащиеся почти всегда имели дело с неподвижными, определенными по положению точками, а здесь точка может перемещаться некоторым образом, но все время она обладает определенным свойством. Поэтому большую пользу окажет учащимся наглядное пособие с неподвижными точками А и В и перемещающейся по их оси симметрии точкой О, соединенной резинкой с точками А и В, с помощью которого хорошо разъяснить смысл выражения: «Любая точка оси симметрии равноудалена от А и В».

Примечание. Включение в определение лишних с научной точки зрения слов «и только таких точек» вызвано педагогическими соображениями. В противном случае в определении явно не выделяется необходимость доказательства двух взаимно обратных теорем для утверждения, что та или иная фигура является геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством.

4. Целесообразно в качестве домашнего задания к этому уроку предложить учащимся повторить определение окружности (§ 12 по учебнику Н. Н. Никитина). Тогда на уроке, уточнив, что все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, а всякая точка, взятая внутри (вне) окружности, находится от ее центра на расстоянии, меньшем (большем) радиуса, делаем вывод, что окружность можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии Rот данной точки О.

Предлагаем учащимся самостоятельно найти все точки, находящиеся от данной точки О на расстоянии, меньшем чем R. И при разборе этого задания подчеркиваем, что геометрическим местом точек может быть прямая, окружность и даже круг, а в дальнейшем будет показано, что геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, может быть луч, отрезок прямой, две прямые или две окружности и даже отдельные точки. Разбирая такие конкретные примеры, мы показываем учащимся разнообразие видов тех множеств точек, которые могут быть геометрическими местами точек.

Затем надо показать учащимся, что одно и то же геометрическое место точек может встречаться в различных формулировках, для чего сравниваем, например, известное им геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, с такими, как геометрическое место точек, равноудаленных от концов дачного отрезка; геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием (середина основания уже исключается).

5. Применяя эти геометрические места точек, решаем задачи методом геометрических мест, начиная с простейшей задачи. Какие же задачи считать простейшими?

Сущность метода геометрических мест состоит в следующем:

1) Решение задачи сводим к отысканию точки, удовлетворяющей определенным условиям.

2) Отбрасываем одно из этих условий, получим геометрическое место точек, удовлетворяющих оставшимся условиям.

3) Отбрасываем затем какое-нибудь другое условие, получим новое геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.