4) Искомая точка, удовлетворяющая всем условиям, является точкой пересечения полученных геометрических мест.
Какую задачу ни возьмем, одновременно второй и третий этапы отсутствовать не могут, ибо тогда это не была бы задача на метод геометрических мест. Но без одного из этих этапов можно обойтись, если в условии указать геометрическую фигуру, которой должна принадлежать искомая точка. Чтобы избежать и первого этапа, достаточно задачу сформулировать в виде: «Найти точку...».
Следовательно, простейшими задачами на метод геометрических мест будут задачи вида: «На какой-либо фигуре найти точку, удовлетворяющую определенным условиям.
Метод осевой симметрии.
1. Осевая симметрия – это первый из видов движения, преобразования, с которым учащиеся встречаются в систематическом курсе геометрии.
В настоящее время в геометрии большое значение имеют конструктивные навыки, при помощи которых учащиеся овладевают методами преобразования одних геометрических фигур в другие, и постепенно знакомятся с важной идеей геометрического преобразования, которое является аналогом функциональной зависимости в геометрии.
Курсы алгебры и арифметики подчинены одной идее, идее функциональной зависимости. Мы стремимся воспитывать у учащихся функциональное мышление, умение находить законы связей между величинами. Подчинив курс геометрии идее геометрических преобразований, аналогу функциональной зависимости, подчиняем все изложение курса математики одной руководящей идее.
В новой программе по геометрии значительное внимание уделено геометрическим преобразованиям, то есть таким операциям, когда каждой точке одной фигуры по некоторому закону ставится в соответствие определенная точка другой фигуры. В средней школе из геометрических преобразований рассматриваются различные виды движений, а также подобие фигур.
Изучение движения в средней школе принесет ощутимые плоды, если эти преобразования станут основой курса геометрии, а не придатком, органически не связанным с ним. Движение должно служить одним из основных методов доказательства многих теорем геометрии в VI-VII классах. Более того, идея движения может быть положена в основу построения значительной части курса геометрии. Излагаемый материал приобретает кинематический характер, значительно облегчается понимание учащимися образования и построения геометрических фигур. Применяя понятие осевой симметрии, можно значительно усовершенствовать школьный курс геометрии. Например, применение свойств оси симметрии позволяет довольно просто изложить три признака равенства треугольников, специальные случаи равенства прямоугольных треугольников и ряд других тем из главы «Треугольники».
2. Различные виды движений дают возможность решать практически важные задачи на построение, доказательство и задачи вычислительного характера. Поэтому все изложение должно сопровождаться упражнениями, среди которых предпочтение следует отдавать задачам на построение и на доказательство. Нужно решать и задачи на вычисление, особенно с практическим содержанием, но в большинстве случаев при решении таких задач геометрическая сторона вопроса в значительной степени поглощается арифметическими и алгебраическими операциями.
3.Известно, что осознанные знания могут быть получены только в процессе активной и творческой деятельности самостоятельно или под руководством учителя. При изучении осевой симметрии имеются большие возможности привлечь учащихся к формированию самого понятия. Действительно, учащиеся неоднократно наблюдали в жизни примеры симметричных фигур, многие из таких предметов они рисовали или изготовляли на уроках в начальной школе и в V классе: вырезали симметричные фигуры из бумаги, рисовали симметричные орнаменты, листья и цветы, изготовляли симметричные предметы из дерева и металла, применяя симметричные инструменты.
Анализируя эти знакомые учащимся примеры, особенно примеры предметов, которые были объектом или орудием трудa учащихся в школьных мастерских, на уроках домоводства или общественно полезного труда, мы постепенно формируем представление о симметричных фигурах.
Часть работ (изготовление мотыги, планки для граблей и т. п.), требующих построения точек, симметричных относительно определенной оси, учащиеся изготавливают до изучения соответствующего материала в курсе геометрии. поэтому при объяснении осевой симметрии, чтобы подчеркнуть значение этого понятия, в качестве симметричных фигур использовали пособия, изготовленные учащимися этого же класса в школьных мастерских, причем выбирали всегда два однотипных пособия 9молотки, стамески), одно из которых сделано аккуратно, точно по чертежу, а второе такое, у которого все размеры выдержаны, но нарушена симметричность. Совместными усилиями учащиеся выяснили, почему второе пособие получилось плохим, и как нужно было правильно сделать разметку.
4. В школьном курсе геометрии выражение «симметрия» имеет двоякий смысл: оно обозначает и вид движения (преобразование) и свойство плоской фигуры, обладающей симметрией, которая при соответствующем движении переходит сама в себя. Это различие мы должны учитывать, ибо в преподавании приходится иметь дело с каждым из этих истолкований симметрии. И одна из задач учителя – добиться того, чтобы учащиеся восприняли симметрию как один из способов преобразования одной фигуры в другую, а не как свойство неподвижной фигуры.
Поэтому после введения определения симметричных относительно оси точек, внимание учащихся переключаем на практику построения взаимно симметричных относительно оси фигур, для чего решаем задачи вида:
1) Построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой.
2) Построить отрезок (прямую), симметричный данному отрезку (прямой) относительно данной прямой.
3) Построить треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной прямой.
4) Построить окружность, симметричную данной окружности относительно данной прямой.
5) Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно а) его катета; б) его гипотенузы.
При решении этих задач одновременно устанавливаем и равенство взаимно симметричных отрезков, углов и других фигур, иллюстрируя наши утверждения перегибанием чертежа по оси симметрии, что помогает найти и сделать понятным способ решения задачи. Например, при решении задач вида: «Даны две прямые. Найти на них точки, симметричные относительно третьей прямой» очень удобно нанести все три прямые на кальку и перегнуть чертеж по третьей прямой. Тогда решение задачи становится очевидным и понятным для всех учащихся. Таким же образом решаем задачи: а) Даны прямая и треугольник. Найти на одной прямой и на контуре треугольника точки, симметричные друг другу относительно другой прямой, б) Даны окружность и треугольник. Найти на окружности и на контуре треугольника точки, симметричные друг другу относительно данной прямой.
Чтобы показать учащимся важность и необходимость умений и навыков в построении симметричных относительно оси точек, кроме разбора известных уже им примеров, полезно выполнить разметку какого-нибудь изделия, которое нужно будет изготовлять в ближайшее гремя.
5. Обучение должно вестись так, чтобы учащиеся усвоили знания не как изолированные, оторванные от других, а как подготовленные предшествующими знаниями, и которые естественно включаются в последующие. Поэтому в дальнейшем, где только возможно, следует использовать понятие и свойства осевой симметрии и правила построения симметричных фигур при изучении новых геометрических образов и при решении доступных учащимся задач на построение.
Знание свойств симметричных относительно оси фигур позволяет рассматривать решение основных задач на построение с помощью циркуля и линейки до изучения признаков равенства треугольников и понятия геометрического места точек. Сами построения являются для учащихся понятными и естественными.
Действительно, чтобы построить точку, симметричную относительно некоторой прямой данной точке А, не лежащей на этой прямой, построим две окружности, проходящие через точку А с центрами в произвольных точках О1, и О2данной прямой. Так как для окружностей данная прямая является осью симметрии, то вторая их общая точка А1будет искомой точкой. Но этим самым мы решили и задачу: «Через точкуА, не лежащую на данной прямой, пронести перпендикуляр к этой прямой,
Аналогичным образом решается и задача о построении оси симметрии двух данных точек; одновременно получаем решение задачи о делении данного отрезка пополам.
Так как биссектриса угла есть осьсимметрии его сторон, то для построения ее достаточно найти на сторонах угла две точки, симметричные относительно искомой оси, каковыми будут точки, находящиеся на равных расстояниях от вершины угла, принадлежащей оси симметрии. В результате задача свелась к предыдущей с той лишь разницей, что достаточно найти одну точку оси, так как вторая точка – вершина угла – нам известна.
Этим же построением решается и задача о проведении к прямой перпендикуляра через данную на ней точку, так как искомый перпендикуляр по существу есть биссектриса развернутого угла с вершиной в данной точке.
Применение осевой симметрии значительно упрощает и облегчает усвоение таких разделов темы «Окружность», как свойство диаметра, перпендикулярного к хорде, свойство дуг, заключенных между параллельными хордами. Без большой затраты времени можно тщательно рассмотреть весьма важный для приложений вопрос о взаимном расположении окружностей, если обратить внимание учащихся на симметричность общих точек двух окружностей относительно их линии центров. Учащиеся смогут самостоятельно указать необходимые и достаточные условия касания двух окружностей, что нужно при изучении соответствующих геометрических мест центров окружностей, касающихся данной.