В VII-VIII классах метод осевой симметрии часто применяется вместе с другими методами.
Метод центральной симметрии.
1. В течение двух лет мы знакомили учащихся с центральной симметрией примерно так, как в учебнике Н.Н. Никитина. Рассматривали построение и свойства точек, отрезков и треугольников, симметричных соответствующим данным фигурам относительно некоторой точки О. Затем рассматривали вопрос о центре симметрии параллелограмма, решая предварительно задачу: «Если в параллелограмме через точку О пересечения его диагоналей провести произвольную прямую, то отрезок прямой, заключенный между его сторонами, делится в точке О пополам». Получив соответствующий вывод о центре симметрии параллелограмма, вводим понятие центрально-симметричных фигур, подчеркивая, что каждой точке М фигуры, имеющей центр симметрии в точке О, соответствует другая точка М1этой же фигуры, отстоящая от О на такое же расстояние, как и точка М, и лежащая на прямой МО.
Решали такие задачи на построение с применением центральной симметрии;
1) Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
2) Дан угол и точка Р внутри него. Провести через эту точку прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторонами угла, делился в данной точке пополам.
У большинства учащихся не создавалось правильного представления о применении здесь центральной симметрии, они рассматривали эти решения, как решения задач дополнением искомых треугольников до параллелограммов.
Причины того, что это понятие оказалось трудным при таком изложении, следующие: во-первых, понятие центральной симметрии точек и фигур вводилось формально, без активного участия учащихся в формировании этого понятия; во-вторых, примеры задач на построение для иллюстрации применения центральной симметрии подобраны неудачно; в-третьих, в курсе геометрии по установившейся традиции центральная симметрия не находит должного применения.
2. Результаты оказались значительно лучшими, когда понятие центральной симметрии начали вводить так же, как и понятие осевой симметрии. Объяснение этого понятия сопровождалось показом соответствующих наглядных пособий, а также изделий, для которых учащиеся данного класса выполняли разметку, принимая точку пересечения базисных линий за центр симметрии и откладывая на одной и той же прямой по разные от этой точки стороны равные отрезки.
Затем решаем задачи вида: «Построить точку (отрезок, треугольник), симметричную данной точке (отрезку, треугольнику) относительно данного центра О», устанавливая одновременно равенство центрально-симметричных отрезков и треугольников. Чтобы учащиеся поняли, что любые центрально-симметричные фигуры равны, предлагаем им начертить произвольную прямолинейную фигуру и найти центрально-симметричную ей фигуру по отношению к некоторому центру. Поворачивая одну из них на 180о около центра О, учащиеся убеждаются, что эти фигуры совпадают. Затем, как и в прежнем варианте, вводим понятие центрально-симметричных фигур, рассматривая предварительно симметрию параллелограмма.Чтобы показать приложение центральной симметрии к решению задач на построение, подбираем задачи, для решения которых требуется применить действительно центральную симметрию, а не дополнение до параллелограмма.
Метод параллельного переноса.
В средней школе умножение движений не рассматривается, и мы не можем вводить параллельный перенос как произведение двух отражений около параллельных осей, а вынуждены исходить из свойств параллелограммов.
Целесообразно с параллельным переносом знакомить учащихся в процессе решения задач па построение при изучении темы «Четырехугольники».
Имеются задачи вычислительного характера и на доказательство, требующие проведения прямых, параллельных боковой стороне трапеции, или в которых уже проведена такая прямая, например:
1) В трапеции ABCDиз вершины В проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с большим основанием АD. Периметр треугольника АВЕ равен 1м,а длима EDравна 3дм. Определить периметр трапеции.
2) Доказать, что в равнобедренной трапеции углыпри основании равны. Для решения этой задачи учащиеся проводят прямую, параллельную боковой стороне, чтобы свести доказываемое предложение к свойству равнобедренного треугольника.
Но перенос части фигуры, искусственно отделенной от других элементов, для учащихся более сложен, чем перенос всей фигуры. Поэтому можно было бы начинать с решения задачи, требующей переноса окружности. В этих задачах очень простое построение, так как фактически нужно перемещать в заданном направлении на данное расстояние лишь одну точку – центр окружности. Но при таком решении учащиеся не видят, как перемещаются точки окружности, ибо допустимо вращение окружности около центра, а это может привести к неправильному пониманию параллельного переноса. Например, в известном пособии И. И. Александрова первым примером на метол параллельного переноса является задача: «Между двумя окружностями провести отрезок ХУ, делящимся пополам в данной точке А». Приведенное там решение показывает, что вместо параллельного переноса окружности фактически выполнено отражение от точки А, которое можно в данном случае рассматривать как произведение параллельного переноса и поворота окружности вокруг своего центра на 180°.
Таким образом, при решении задач па построение мы применяем метод параллельного переноса, сущность которого состоит вследующем: при анализе какую-нибудь фигуру подвергаем параллельному переносу на некоторое расстояние в определенном направлении, в результате чего получаем вспомогательную фигуру, построение которой или очевидно, или не представляет затруднений. После этого производим обратный перенос и получаемискомую фигуру. Здесь же разъясняем, что параллельный перенос фигуры на некоторое расстояние означает, что все ее точки смещаются на одинаковое расстояние в определенном направлении. Следовательно, для определения параллельного переноса нужно знать направление и величину переноса.
Параллельным перенос можно задать вектором переноса, которым одновременно определял бы и направление и интервал данного переноса, но понятие вектора для семиклассников неизвестно, поэтому мы вынуждены выделять отдельно направление и величину переноса. В дальнейшем при решении всех задач па построение методом параллельного переноса требуем от учащихся указывать как направление переноса, так и расстояние, на которое перемещается каждая точка фигуры.
Метод подобия.
1. Понятиео подобии фигур в курсе геометрии VIII класса обычно иллюстрируется многочисленными примерами подобных фигур, встречающихся в быту, внауке и технике. Используется и имеющийся у учащихся опыт применения подобия при изготовлении планов и карт на уроках географии; при проведении мензульной съемки, если она была проведена до изучения этой темы; при выполнении рабочих чертежей на уроках черчения; при разметке деталей в школьных мастерских по чертежам, выполненным в некотором масштабе.
Для лучшего усвоения метода подобия при изучении теоретического материала необходимо проводить подготовительную работу, в частности, разъяснять, хотя бы в простейших случаях (треугольники, параллелограммы), условия, определяющие форму фигуры с точностью до подобия. Так как учащиеся должны уметь выполнять построения вспомогательных фигур, подобных искомым, то нужно повторить изученные ранее методы и приемы геометрических построений, в особенности, метод геометрических мест, что можно сделать при изучении пропорциональности отрезков в связи с новым материалом.
Учащиеся, повторив материал, относящийся к методу геометрических мест, легче воспринимают метод подобия. При решении задач методом подобия, как и при решении задач методом геометрических мест, отбрасываем одно из условий, в результате чего задача становится неопределенной. Ее решением при применении метода геометрических мест является бесконечное множество точек, удовлетворяющих оставшимся условиям, а в случае метода подобия получаем бесконечное множество фигур, объединенных одним свойством; все они подобны искомой фигуре. Взяв одну из них, мы с помощью подобного преобразования, учитывая ранее отброшенное условие, получаем искомую фигуру. Эта аналогия помогает лучше усвоить метод подобия.
2.При изучении понятия «центр подобия» и при построении многоугольника, подобного данному, разъясняем учащимся, что соответственные точки всегда лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия, а прямая, не проходящая через центр подобия, преобразуется в параллельную ей прямую. После того как учащиеся ознакомятся с построением многоугольника, подобного данному, разбираем сущность метода подобия, решая несложную задачу, в которой были бы ярко выражены характерные признаки этого метода. Например: «Построить треугольник, знай два его угла А и С и высоту hb».
Эту задачу можно решить различными способами, например методом параллельного переноса или методом геометрических мест. Разобрав предлагаемые учащимися решения и повторив сущность применяемых методов, указываем на возможность решения ещеодним способом: с применением подобия фигур.
Если не учитывать высоту искомого треугольника, то по двум данным углам мы можем построить бесконечное множество треугольников, но все они будут подобны искомому. Построим один из них, например треугольник А1В1С1(рис. 50).