Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение (стр. 24 из 28)

Рис. 50

Чтобы выяснить, будет ли он искомым, проведем высоту B_lD₁и сравним ее с данной высотой. В общем случае полученная высота не будет равна данной. Если, например, B_lD₁меньше данной высоты в два раза, значит, и стороны треугольника нужно увеличить в два раза, ибо сходственные высоты в подобных треугольниках относятся как сходственные стороны. Если высота B_lD₁ больше данной в несколько раз, тогда нужно во столько же раз уменьшить и стороны треугольника. Следовательно, треугольник А₁В₁С₁нужно подобно преобразовать так, чтобы высота была равна данному отрезку h_b, для чего достаточно определить коэффициент подобия и выбрать центр подобия. Коэффициент подобия равен отношению даннойвысоты к настроенной высоте B_lD₁, то есть

. За центр подобия выберем, например, точку B₁, тогда оченьлегко построить точку, соответствующую точке D₁, для чего достаточно отложить отрезок B₁D= h_в. Проведя прямую СА || С₁А₁, получим искомый треугольник АВ₁С, который действительно удовлетворяет всем условиям задачи.

Построения, выполняемые с применением транспортира и треугольника, просты, доказательство и исследование элементарны, и все внимание учащихся концентрируется на уяснении сущности нового для них способа решения задач на построение.

Повторяем решение задачи: не учитывая высоты, по данным углам построили треугольник, подобный искомому; учитывая затем заданную высоту, подобно преобразовали построенный треугольник в искомый. Такой способ решения задачи называется методом подобия. Этим методом можно решать лишь такие задачи па построение, условия которых можно разбить на две части, одна из которых определяет фигуру с точностью до подобия (два утла треугольника), а вторая часть условия определяет размеры фигуры (высота).

Таким образом, метод подобия при решении задач на построение состоит в следующем; отбросив условие, определяющее размеры фигуры, по оставшимся условиям строим фигуру, подобную искомой; учитывая затем ранее отброшенное условие, подобно преобразовываем построенную фигуру в искомую.

Алгебраический метод.

1. Одним из важных методов, применяемых в школьном курсе геометрии, является алгебраический метод решения задач на построение. Уже в VI-VII классах учащиеся неоднократно применяли алгебру при решении задач вычислительного характера и задач на доказательство с целью упрощения решения. Алгебра дает очень удобный и хороший способ решения геометрических вопросов аналитическим путем.

В VI классе целесообразно рассказать, что некоторые сведения по алгебре были известны еще в глубокой древности, но вопросы алгебры не отделялись от вопросов арифметики и геометрии. Позже греческие ученые, такие, как Пифагор, Евклид, которые занимались преимущественно геометрией, получили значительные результаты и в алгебре. Но многие алгебраические тождества доказывались ими геометрически. На доске в качестве примера иллюстрируем доказательство тождества: (a + b)² = a² + 2ab + b²(рис. 56).

Рис. 56

Площадь квадрата, построенного на сумме отрезков а и b, равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и bи площадей двух прямоугольников со сторонами а и b. В IX в. н. э. узбекский

ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», появление которой явилось как бы моментом оформления науки алгебры. В дальнейшем алгебра получила свое самостоятельное развитие и начала оказывать большую помощь при решении различных задач других математических дисциплин, в том числе и геометрии.

2. Алгебраический метод решения задач на построение рассматривается как дальнейшее расширение применения алгебры к геометрии. Как известно, он состоит в следующем. Предположив задачу решенной: 1) Устанавливаем, какой или какие отрезки (в редких случаях углы или дуги) нужно определить, чтобы решить задачу, и обозначаем длины этих отрезков через х, y, z, ..., а длины данных отрезков – через а, b, с, …, то есть вводим обозначения. 2) Из условия задачи, пользуясь известными геометрическими соотношениями между искомыми и данными отрезками, составляем уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравнение или систему уравнений. 4) Исследуем полученные формулы для неизвестных отрезков по условию задачи. 5) Строим с помощью инструментов искомые отрезки, выраженные полученными формулами через данные отрезки. После того как неизвестные построены, выполняем построения, которые окончили бы решение, проводим доказательство и исследование.

Первые четыре этапа известны учащимся, так как при решении геометрических задач на вычисление и алгебраических на составление уравнений всегда выделялись такие же этапы. Это говорит о том, что задачи на построение, решаемые таким методом, можно рассматривать как обобщение задач вычислительного характера, а с другой стороны, при применении алгебраического метода всякая задача на построение заменяется вначале задачей на вычисление, так что каждая задача на построение, решаемая этим методом, является, по существу, и задачей на вычисление.

4. Целесообразность рассмотрения этого метода в средней школе не определяется только тем, что учащиеся ознакомятся с еще одним видом задач, для решения которых применяется алгебра. Алгебраический метод решения отдельных, даже сложных задач на построение более доступен учащимся, ибо достаточно получить соответствующую формулу для определения искомой величины, чтобы стало ясным все решение задачи.

Алгебраический метод позволяет легко установить условия возможности решения задачи, а также наличие определенного числа решений при тех или иных значениях и положениях данных.

5. Однако в средней школе не следует чрезмерно увлекаться этим методом за счет других важных разделов. Нужнорешать доступные и интересные для учащихся задачи.

2.3. Влияние задач на построение на развитие логического

мышления.

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствии с Основными направлениями реформы общеобразовательной и профессиональной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии.

При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач.

При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей совершенно необходимо сопровождать логические конструкции фактическими построениями при помощи определенных инструментов (линейка, чертежный треугольник, циркуль),а также изображениями, выполняемыми от руки.

Весь процесс решения задачи на построение сопровождается выполнением соответствующих чертежей («чертеж-задание», «чертеж-набросок», «чертеж-построение», «чертеж для исследования»).

Решение задач на построение развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как геометрические задачи на построение.

Действительно, задачи вычислительного характера в планиметрии, не требующие в большинстве своем вспомогательных построений и сложных логических рассуждений, служат для закрепления фактического материала: формулировок теорем, свойств фигур и т.п. чтобы развивать логическое мышление учащихся, а этим сделать их знания более систематизированными, прочными и глубокими, решаются задачи на доказательство.

Большое значение для логического развития учащихся имеют и задачи на построение. Наличие анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они имеют дело не с конкретной определенной фигурой, а должны создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются другие и даже вся фигура.

Весь комплекс, состоящий из четырех стадий решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование), является хорошей школой решения и исследования проблем в области точных наук. В процессе решения таких задач развивается внимание, настойчивость, инициатива и изобретательность.

Логические трудности главным образом связаны с проведением анализа и исследования задачи. Известные методы решения задач на построение изучаются здесь, прежде всего как средства анализа.

3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

3.1. Замысел эксперимента. Программа эксперимента.

Среди учащихся 10-го класса был проведен тест на выполнение логических операций над геометрическими объектами.

Тест предназначен для выявления умения выполнять основные логические операции над геометрическими фигурами (аналогии, классификации, построение закономерности) и рассчитан на работу с учащимися старших классов, студентами математических факультетов.

Материалом заданий являются плоские геометрические фигуры (углы, многоугольники, окружности, комбинированные формы).