2. Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Известно, что развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом особой заботы учителей и методистов. В процессе обучения математике логическое мышление проявляется (и развивается) у учащихся, прежде всего в ходе различных математических выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задачи т.п.
3. Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами.
Известно, что невысокий уровень развития пространственного воображения и мышления, учащихся обычно является для них камнем преткновения при изучении стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся. В определенной степени развитию пространственного мышления способствует использование в обучении таких технических средств обучения, как кинофильмы, диафильмы, диапозитивы, кодоскоп.
Широкое применение наглядных пособий (в частности, анаглифов) при изучении стереометрии, конечно, в какой-то мере способствует развитию у учащихся пространственного мышления (и воображения).
С этим типом мышления тесно связана способность учащихся выразить при помощи, какой – либо схемы тот или иной математический объект, операции или отношения между объектами. Схемы, которые при этом составляются, могут иметь самый разнообразный характер.
Интуитивное мышление
«Интуиция (лат. intuito– пристальное всматривание) – особый способ познания, характеризующийся непосредственным постижением истины. . . К области интуиции принято относить такие явления, как внезапно найденное решение задачи, долго не поддававшейся логическим усилиям, мгновенное нахождение единственно верного способа избежать опасности, быстрое и безотчетное отгадывание замыслов или мотивов поведения человека и т. д.»
В современной педагогике специфику интуитивного мышления в его отличии от аналитического мышления пытался рассмотреть Дж. Брунер. «Можно более конкретно охарактеризовать аналитическое и интуитивное мышление. Аналитическое мышление характеризуется тем, что его отдельные этапы отчетливо выражены и думающий может рассказать о них другому человеку. Такое мышление обычно осуществляется с относительно полным осознанием как его содержания, так и составляющих его операций...
В противоположность аналитическому, интуитивное мышление характеризуется тем, что в нем отсутствуют четко определенные этапы. Оно имеет тенденцию основываться, прежде всего, на свернутом восприятии всей проблемы сразу. Человек достигает ответа, который может быть правильным или ошибочным, не осознавая при этом (если вообще такое осознание имеет место) тот процесс, посредством которого он получил искомый ответ... Обычно интуитивное мышление основывается на знакомстве с основными знаниями в данной области и с их структурой, и это дает ему возможность осуществляться в виде скачков, быстрых переходов, с пропуском отдельных звеньев; эти особенности требуют проверки выводов аналитическими средствами – индуктивными или дедуктивными».
В процессе традиционного школьного обучения математике иногда основное внимание уделяется точному воспроизведению школьником полученных им знаний. Поэтому нередко своеобразный ответ одаренного учащегося ценится меньше, чем хорошо заученный ответ другого. В первом случае, хотя учащийся не в состоянии четко изложить ход своих мыслей, он приходит к правильному результату, показывая хорошее умение применять свои знания, во втором – учащийся много и правильно говорит, но по существу не умеет пользоваться понятиями, выраженными в его речи.
Часто преподавание математики строится именно так. Школьник учится не столько понимать математические отношения, сколько просто применять определенные схемы или правила без понимания их значения и связи. После такого неудачного начала обучения учащийся приходит к убеждению, что самое важное – быть «точным», хотя точность относится скорее к вычислениям, чем вообще к математике. Американский педагог-психолог Д. Брунер пишет, что «...Быть может, самым поразительным примером такого подхода является первоначальное изложение евклидовой геометрии учащимися средней школы в виде ряда аксиом и теорем без всякой опоры на непосредственный опыт оперирования простыми геометрическими формами. Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде «интуитивной» геометрии, то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее».
В настоящее время развитие интуитивного мышления привлекло внимание многих прогрессивных педагогов-математиков. На роль интуиции в обучении математики указывает А. Н. Колмогоров, Который пишет: «...Везде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными.
...Геометрическое воображение, или, как говорят, «геометрическая интуиция», играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлеченных. В школе обычно с особенным трудом дается наглядное представление пространственных фигур. Надо, например, быть уже очень хорошим математиком (по сравнению с обычным школьным уровнем), чтобы, закрыв глаза, без чертежа ясно представить себе, какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной одной из его диагоналей».
Правда, значение интуиции нельзя переоценивать. Конечно, человек с хорошо развитой способностью к интуитивному мышлению обычно обладает определенными математическими способностями, но сама по себе интуиция не может обеспечить хорошего знания предмета.
Д. Брунер высказывает мысль, что «может быть, прежде всего, нужно создать интуитивное понимание материала и только тогда знакомить учащихся с более традиционными и формальными методами дедукции и доказательства».
То же самое отмечает и Э. Кастельнуово в книге «Дидактика математики».
Говоря об обучении геометрии, она указывает, что надо сделать так, чтобы курсу «рациональной» геометрии предшествовал курс «интуитивной» геометрии. Этот курс должен быть построен таким образом, чтобы к 14 годам дети имели полное представление о мире геометрических фигур и вопросы, изученные в начале на интуитивной основе, были затем повторены с более абстрактной точки зрения, т. е. предлагается метод действия с объектом, а не метод наблюдения над ним.
Автор ставит вопрос: «Если ясно, что надо начинать с изложения курса интуитивной геометрии, исходя из конкретного развития понятий и свойств, то какой смысл следует придавать опоре на конкретное?» И приводит пример, рассказывающий о различном подходе к конкретному: представим, что с детьми 11 лет мы изучаем квадрат. Чтобы дать определение этой фигуры, впрочем, уже известной всем детям этого возраста, исходя из конкретного, можно вырезать квадраты из листа бумаги и дать детям задание наблюдать за сторонами и диагоналями вырезанных квадратов. Можно привести примеры предметов, имеющих форму квадратов, сравнить квадраты с другими видами четырехугольников. Все это делается для того, чтоб ученик смог самостоятельно дать определение. Отправляясь от небольшого числа наблюдений неподвижных фигур, учащийся 11 лет, как правило, не способен сделать это самостоятельно.
Автор предлагает другой, более естественный путь, используя не наблюдения над объектом, а действия с объектом.
Детям дают равные между собой планки и винты для их скрепления. Скрепив планки, учащиеся замечают, что фигура, которую они получили, может изменятся, преобразовываться в ромб.
Если сосредоточить внимание ребенка на элементах, которые не изменяются и которые изменяются при переходе от одной фигуры к другой, то он сможет интуитивно почувствовать постоянство суммы величин углов и изменение суммы длин диагоналей через рассмотрение предельных случаев, когда ромб «стремится» к отрезку. В этом случае наблюдение за большим числом фигур образующихся при преобразовании квадрата, приводит к характеристике и квадрата через ромб и, следовательно, к определению фигуры.
Д. Брунер задает вопрос: «Является ли более вероятным развитие интуитивного мышления учащегося в тех случаях, когда преподаватель сам мыслит интуитивно?.. Кажется невероятным, чтобы учащийся мог развить у себя или имел доверие к интуитивному методу мышления, если он никогда не видел, как его эффективно используют взрослые. Учитель, который готов по догадке давать ответ на вопрос, заданный классом, и затем подвергнуть свою догадку критическому анализу, быть может, с большим успехом сформирует у своих учащихся умение пользоваться интуицией, чем тот учитель, который анализирует все свои впечатления заранее...
...Следует ли стимулировать учащихся к догадкам? Как создавать ситуации, требующие напряжения интеллектуальных процессов? Возможно, что имеются определенные условия, в которых догадки желательны и могут в некоторой степени способствовать нормированию интуитивного мышления. Такие догадки нужно заботливо развивать. Однако в школе выдвижение догадки часто тяжело наказывается и как-то ассоциируется с леностью учащихся. Конечно, никому бы не понравилось, если бы наши учащиеся не отмели совершать иных интеллектуальных операций, кроме догадок, как за догадками всегда должны следовать проверка и подтверждение в той мере, в какой это необходимо... Не лучше ли для учащихся строить догадки, чем лишаться дара речи, когда они не могут немедленно дать правильный ответ?»