Формирование математического мышления школьников предполагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления.
В процессе обучения математике естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления математического. При условии, что проблеме развития мышления школьников при изучении других учебных предмета будет уделено должное внимание, опасность одностороннего развития мышления школьников не возникает. Развивающее обучение, осуществляемое при изучении других учебных предметов, неизбежно приведет к усилению развития тех компонентов мышления, которые с точки зрения математического образования считаются второстепенными.
Органическое сочетание и повышенная активность разнообразных компонентов мышления вообще и различных его качеств проявляются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческого характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.
Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.
Рассматривая вопрос о средствах и условиях развития мышления, определим эти понятия. Под условиями, согласно теории деятельности, понимают все то, что влияет на характер и эффективность деятельности, а под средством - такие условия, которыми субъект деятельности может произвольно и непроизвольно оперировать в процессе реализации цели.
Среди теорий, рассматривающих проблемы развития мышления, интеллекта, следует выделить ассоцианистскую теорию, стоящую у истоков многих других теорий развития (Д.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн и др.). Мышление, согласно этой теории, – это процесс.
Мыслительный процесс делится на акты, этапы, каждый из которых имеет результативное выражение – «продукт». Последний включается в дальнейшее протекание процесса. Предметом психологического исследования являются не продукт, а процесс, процессуальное мышление.
Внутренние закономерности мышления – это закономерности мыслительных операций анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования и др. и их взаимосвязей.
Согласно этой теории и ученик и ученый овладевают новыми знаниями с помощью мыслительных операций, формы и уровень которых различны. По мере формирования операций формируется интеллект.
Каждый учебный предмет имеет свою специфику, и каждая умственная операция преломляется через специфику содержания предмета. Эти операции не привлекаются извне, они порождаются процессом мышления в результате анализа задачи, ее условий.
Одним из ключевых моментов поиска решения задачи, согласно рассматриваемой теории, является перенос уже имеющегося способа решения на новую задачу. Перенос решения предполагает аналитико-синтетическую деятельность относительно решаемой и решенной задачи. Использование вспомогательной задачи может быть осуществлено только при достаточном анализе основной задачи. Раскрытие общего в обеих задачах - необходимое условие переноса. Перенос не осуществляется решающим в силу следующих обстоятельств: не знает, забыл вспомогательную задачу, не умеет в задачах найти общее, недостаточная обобщенность результата решенной задачи. Если, например, учащиеся, изучившие теорему Пифагора, не могут перенести ее условия на ситуацию, связанную с ромбом, значит, ими не проведена аналитико-синтетическая деятельность по анализу задачи, выделению главного, определяющего метод решения задачи.
Содержанием процесса переноса является анализ через синтез, т. е. рассмотрение ситуации с различных точек зрения.
Говоря о теориях развивающего обучения нельзя не сказать о теории Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, получившей особенно широкое распространение в начальной школе, в том числе при обучении математике. Эта теория постепенно завоевывает свое место и в средней школе. В чем суть рассматриваемой концепции? В чем выражается эффект развития и за счет чего он получается?
Исходные установки концепции Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова касаются всех сторон обучения. Это – создание условий для развития личности ребенка, смена содержания обучения, изменение форм работы с детьми. Изменение содержания курса диктуется основным положением концепции - изучением содержания на уровне теоретического обобщения. Теоретические знания, согласно концепции, должны отражать внутренние существенные связи материала, не данные в рамках чувственного опыта. Произвести содержательное обобщение - значит открыть некоторую закономерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Теоретические обобщения возникают не путем простого сравнения предметов, а с помощью выявления генетической основы всех конкретных проявлений целостной системы.
Основная форма организации изучения материала в этой теории – постановка и решение учебных задач в рамках проблемного подхода. Понятие «учебная задача» введена авторами концепции. Она означает обобщенное знание, обобщенное умение. Примеры обобщенных знаний: как устроено определение понятия, почему необходимы неопределяемые понятия, как устроена дедуктивная теория. Примеры обобщенных умений/анализировать условие задачи, составлять прием решения типовой задачи, применять любое правило на практике, читать математическую книгу и многое другое.
Учебная задача существенно отличается от многочисленных частных задач, входящих в программу того или иного класса при традиционном обучении. При решении учебной задачи школьник первоначально овладевает общим способом решения частных задач на уровне теоретического обобщения. Задача решается для всех однородных случаев сразу. Разрешение учебной задачи всегда заканчивается построением программы, предписания, алгоритма - получением ориентировочной основы для решения сходных задач.
Эта ориентировочная основа является основанием для анализа условия, планирования, осуществляемых учеником при решении частных задач, для рефлексивных действий, для развития соответствующих особенностей мышления, которые являются показателями развитого мышления.
Итак, каждая из рассмотренных концепций предлагает свой путь развития мышления, свой путь организации обучения, свои формы и методы работы, свой подход к содержанию материала. Представляется, что, во-первых, в практике обучения нельзя исходить из одной, пусть даже очень эффективной, концепции. Процесс обучения многогранен, поэтому необходим подход к нему с точек зрения различных теорий, различных концепций. Во-вторых, теории развивающего обучения не только не противоречат друг другу, но имеют много общего. Все они предполагают обучение учащихся ориентированию в неопределенных ситуациях, анализу этих ситуаций, уточнению целей, поиску выхода из затруднительной ситуации, осознанию путей выхода из ситуации.
Рассмотренные теории могут найти свое место в процессе обучения - в организованном процессе передачи старшим поколением младшему своего опыта.
Многие педагоги и психологи в качестве важнейшего показателя развития личности выделяют наличие систематизированных знаний, накопление фонда знаний относят к одной из важнейших задач умственного воспитания, считают, что если школа не добивается от учащихся глубоких, прочных знаний, то она не может развивать мышление и творческие способности. Знания как предмет обучения являются лишь одной из целей обучения, но этот такая цель, в которой концентрируются другие цели обучения. Без знаний не может быть умений. Знания являются предпосылкой, средством и результатом творчества. Без глубоких систематизированных знаний невозможно формирование мировоззрения. Достаточно полный и систематизированный запас знаний об окружающем мире является важнейшим показателем развития личности учащегося. Знания - не только фонд для осуществления мышления. Усвоение содержания не есть акт простого присвоения знаний. Осознание содержания даже при предъявлении его в готовом виде объяснительно-иллюстративным методом предполагает понимание его внутренней логики, различных взаимосвязей элементов знаний, соотнесение новых знаний с имеющейся системой знаний, ее дополнение, изменение. Усвоение знаний при любых методах обучения предполагает осуществление мыслительных операций, заложенных в содержании, результатом выполнения которых и является осознание содержания. Логика содержания в значительной мере определяет логику познания. И развитие происходит при всех формах передачи знаний, хотя и в разной степени. При передаче знаний также предполагается и деятельность прогнозирования при восприятии материала, предвосхищение взаимосвязей в этом материале. Происходит сопоставление нового с собственным опытом, критический его анализ. Возникают различные аналогии. И если ученик впервые в каком-либо содержаний встречается, например, с отношением транзитивности и понимает его в соответствующем контексте, то это хоть и небольшое, но продвижение в развитии его мышления.