Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников (стр. 10 из 17)

Если искомую фигуру сразу построить затруднительно, то ее преобразуют в какую-нибудь другую фигуру, построение которой можно сделать легче или непосредственно.

При изучении этих методов целесообразно выделить наиболее характерные признаки с тем, чтобы в будущем, анализируя задачу, ученик мог выбрать соответствующий метод.

Действующая программа по геометрии не предполагает использовать идею геометрических преобразований в качестве руководящей идеи школьного курса геометрии, хотя использование геометрических преобразований при решении задач на построение имеет большое методическое значение [25].

4.2.1 Метод центральной симметрии

Симметрией относительно точки О (центральной симметрией) Z₀пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М₁, что точка О является серединой отрезка ММ₁.

Данный метод применим к тем задачам, в условии которых в той или иной форме указана точка, являющаяся центром симметрии искомой или вспомогательной фигуры.

Рассмотрим задачу: “Через данную точку Апровести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делился точкой пополам”.

Решение. Пусть m и α — данные прямая и окружность, CD —искомый отрезок, С

m, D

а (рис. 3). Тогда Z_A(C) =D. Если Z_A(m) =m₁, то D

m₁ и, следовательно, D

а

m₁. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m₁прямой mпри симметрии Z_A, точки Dи Епересечения прямой m₁с данной окружностью α определяют вместе с точкой Аискомые прямые DAи ЕА [20].

Рис. 3

4.2.2 Метод осевой симметрии

Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) S_lназывается преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М₁, что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку ММ₁. Прямая lназывается осью симметрии.

Трудно указать общие признаки задач, решаемых методом осевой симметрии. В более сложных задачах метод осевой симметрии, нередко спрямляющий ломаные линии в прямые, может быть применим, если в условиях содержится сумма или разность частей некоторой ломаной линии. Можно ограничится указанием, что метод осевой симметрии применим для задач, в условии которых указана прямая, являющаяся осью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить по свойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные – по другую.

Рис. 4

Рассмотрим задачу: “Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых bи с”.

Анализ. Пусть (рис.4) ABDC — искомый ромб, AD= r. Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при осевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется в точку С, а, следовательно, прямая b — в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.

Построение. Строим последовательно: прямую b', симметричную с прямой b относительно прямой а; точку С, общую для прямых с и b'; прямую ВС; точку О

ВС

а; точки А и D на прямой а, отстоящие от точки О на расстоянии

; ABCD — искомый ромб.

Доказательство ввиду его простоты опустим.

Исследование. Возможны следующие случаи: 1) с || b', решений нет; 2) с

b', решений бесконечно много; 3) прямые с и b' пересекаются вне прямой а, одно решение; 4) прямые с и b' пересекаются на прямой а, решений нет [2].

4.2.3 Метод параллельного переноса

Параллельным переносом на вектор

называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что вектор

равен вектору

.

Методом параллельного переноса решают задачи, при анализе которых трудно найти зависимость между данными элементами, позволяющую построить искомую фигуру (данные элементы удалены друг от друга); но если мы какую-нибудь часть или всю фигуру перенесем параллельно в некотором направлении на определенное расстояние, то получим вспомогательную фигуру, которую легко можно построить. Направление и величина переноса определяются так, чтобы во вспомогательную фигуру вошло большее число данных.

Рассмотрим задачу: “Построить выпуклый четырехугольник, зная три его угла и две противоположные стороны”.

Подробнее: даны два отрезка а и b и три угла α, β, δ. Требуется построить четырехугольник ABCD так, чтобы

А = α,

В = β,

D= δ, AD= a, СВ =b. Предполагается, что 0° < α < 180°, 0° < β < 180°, 0°< δ < 180°.

Рис. 5

Анализ. Допустим, что ABCD (рис. 5) — искомый четырехугольник. Перенесем сторону ВС на вектор

, и пусть отрезок ВС займет после переноса положение АЕ. Тогдав

AEDизвестны: AD = a, AE = b,

DAE =

BAD –

BAE = =

A – (180° –

B) = α+ β– 180°. По этим данным AED может быть построен.

Рис. 6

Построение. 1) На произвольной прямой строим отрезок AD= а (рис. 6); 2) Через точку А проводим луч AM под углом α + β – 180° к лучу AD; 3) Откладываем на луче AMотрезок АЕ =b; 4) Строим луч EN, образующий с ЕА угол β и расположенный с точкой D по разные стороны от прямой AM; 5) Строим луч DK так, чтобы

ADK был равен δ и чтобы луч DK располагался по ту же сторону прямой DE, что и луч EN; 6) Отмечаем точку С пересечения лучей EN и DK— третью вершину четырехугольника; 7) Четвертая вершина В получается в пересечении прямой AF, параллельной СЕ, с прямой CL, параллельной АЕ.

Доказательство.

BAD=

ВАЕ+

DAE=(180° –β) + (α + β– 180°) = α.

ABC=

СЕА, как углы, стороны которых соответственно параллельны и противоположно направлены.

СЕА = β по построению.

ADC= δ по построению. Отрезок AD=а по построению. ВС = АЕ, как отрезки параллельных между параллельными. Но АЕ =b, а значит, и ВС = b [2].