Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников (стр. 14 из 17)
б) 8 класс. Глава 7 “Подобные треугольники” (19 ч): подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательствам теорем и решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Основная цель – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников. Решение задач на построение методом подобия можно рассмотреть с учащимися, интересующимся математикой.
В главе 8 “Окружность” (17 ч): Касательная к окружности и ее свойства. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности. Основная цель – дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях. В этой же теме имеется ряд задач на построение вписанных и описанных окружностей с помощью циркуля.
в) 9 класс. Глава 12 “Длина окружности и площадь круга” (16 ч): Правильные многогранники. Длина окружности и площадь круга. Основная цель – расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки ограничивается построением квадрата, правильных треугольника, шестиугольника и 2n-угольника.
Глава 13 “Движение” (12 ч): Понятие движения. Параллельный перенос и поворот. Основная цель – познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом. При изучении темы основное внимание следует уделить выработке навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте.
2) А.В. Погорелов [5]
а) 7 класс. §5 “Геометрические построения”. Основная цель – решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки: треугольника по трем сторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикулярной прямой; деление отрезка пополам.
б) 8 класс. §6 “Четырехугольники (20 ч): Определение четырехугольника. Параллелограмм, его признаки и свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Основная цель – дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах.
§9 “Движение” (8 ч): Движение и его свойства. Симметрия относительно точки и прямой поворот. Параллельный перенос и его свойства. Понятие о равенстве фигур. Основная цель – познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований. Симметрия относительно точки и прямой, параллельный перенос учащиеся должны усвоить на уровне практических применений.
§11 “Подобие фигур” (17 ч): Понятие о гомотетии и подобии фигур. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Подобие прямоугольных треугольников. Центральные и вписанные углы и их свойства. Основная цель – усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения.
§13 “Многоугольники” (12 ч): Ломаная. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Длина окружности. Длина дуги окружности. Радианная мера угла. Основная цель – расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях.
3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]
а) 7 класс. Глава 1 “Начала геометрии” (15 ч): Геометрические фигуры. Первые задачи геометрии. Построения. Отрезки. Луч и прямая. Действия над отрезками. Длина отрезка. Расстояние. Окружность и круг. Угол. Действия над углами. Величина угла. Основная цель – рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения. Особую роль в 7 классе играют геометрические построения. Первые аксиомы появляются как утверждения о возможности выполнения простейших построений, а первые доказательства дают обоснование того, что построенные фигуры обладают требуемыми свойствами. Изложение как этой темы, так и последующих должно сочетать наглядность и логичность, а также быть связано с практическими применениями.
Глава 2 “Треугольники” (20 ч): Треугольник и его элементы. Равенство треугольников. Два признака равенства треугольников. Деление отрезка пополам и построение перпендикуляра. Серединный перпендикуляр отрезка. Построение биссектрис, высот и медиан треугольника. Свойства равнобедренного треугольника. Понятие об осевой симметрии. Признак равнобедренного треугольника. Основная цель – развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур.
б) 8 класс. Глава 5 “Метрические соотношения в треугольнике” (34 ч): Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора: равенство прямоугольных треугольников, сравнение перпендикуляра и наклонной, неравенство треугольника, характерное свойство биссектрисы угла. Синус. Свойства синуса и его график. Применения синуса: решение прямоугольных треугольников, вычисление площади треугольника, теорема синусов, решение треугольников. Косинус, его свойства и график. Применения косинуса: теорем косинусов, решение треугольников, средняя линия треугольника, сравнение сторон и углов треугольника. Тангенс и его свойства. Основная цель – изучить основы тригонометрии, доказать три важнейшие теоремы и продемонстрировать богатство возможных применений этих теорем в теории и в практике, в частности при решении треугольников.
в) 9 класс. Глава 7 “Многоугольники и окружности” (18 ч): Хорды и касательные. Градусная мера дуги окружности. Вписанные углы. Вписанные и описанные окружности. Правильные многоугольники. Центр правильного многоугольника. Длина окружности площадь круга. Основная цель – измерение длины окружности и площади круга. Остальные результаты этой темы имеют второстепенный характер.
Глава 8 “Другие методы геометрии” (34 ч): Метод координат: расстояние между точками, понятие об уравнении фигуры, уравнение окружности. Векторы и координаты: разложение вектора по осям координат, координаты векторов и их связь с координатами точек, уравнение прямой. Скалярное умножение и его свойства. Преобразование фигур. Движение фигур и его свойства. Преобразования фигур. Движение фигур и его свойства. Виды движений: перенос, симметрии, поворот. Симметрия фигур. Подобие. Гомотетия. Свойства подобия. Подобие треугольников. Основная цель – познакомить учащихся с методами. Отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторным методом, методом преобразований.
Основная цель всех учебников при введении задач на построение – это развить и отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Приложение 2
Сравнительная таблица основных видов мышления
| Практическое мышление | Теоретическое мышление |
| — совершается в ходе практической деятельности и направлено на решение практических задач;— начинается с возникновения проблемной ситуации, которую нужно решить;— протекает в условиях дефицита времени, опасности или высокой ответственности за принимаемое решение;— направлено на преобразование реальной действительности | — направлено на познание и объяснение явлений действительности;— процесс мышления предполагает создание гипотезы, новой идеи или образа, а также проверку гипотезы на соответствие реальности |
| Интуитивное мышление | Логическое мышление |
| — при интуитивном мышлении переход к новому знанию происходит через озарение;— процесс мышления неосознаваем и слит с самим действием;— объектами мышления являются объекты — оригиналы, с которыми взаимодействует человек;— интуитивное мышление выполняет функцию получения нового знания | — при логическом мышлении происходит плавный логический переход от данного к новому;— процесс мышления осознан, отделен от своего продукта, а способы действия выделены и превращены в операции, применимые ко многим подобным объектам;— объектами логического мышления выступают знаковые системы;— логическое мышление выполняет функцию трансляции уже полученного знания другому |
Приложение 3
Задачи к §3 “Методика решения задач на построение”
3.1. Анализ
Анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон”.
Рис. 1
Чтобы найти решение, нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомого треугольника даны. Для этого начертим произвольный треугольник A1B1C1 (рис.1) и отметим элементы, соответствующие данным по условию. Пусть это будет сторона A1C1 и угол C1A1B1. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нужно показать и разность. Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки C1 или от точки B1 либо на большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки B1, так и от точки A1. Если разность будет около точки В1, то тогда данные не связаны между собой, и нельзя наметить план решения. Если же В1А1 отложим от точки В1 на В1С1, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон — будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру D2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1=B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру C1A1D1. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.