4) А.П. Кисилев, Н.А. Рыбкин [8]
Учебник содержит пять глав и сборник задач по геометрии.
В главе 1 “Прямая линия” в §1 “Углы ” рассматривается построение перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки. §3 “Треугольники” содержит пункт “Геометрическое место”, где дается определение ГМТ, и приводятся примеры: что является ГМТ серединного перпендикуляра и биссектрисы. Далее следует § 4 “Основные задачи на построение”, где рассматриваются задачи на построение треугольника по трем его сторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикуляра к прямой из данной точки, лежащей и не лежащей на прямой; серединного перпендикуляра; задача о делении отрезка пополам; построение треугольника по основанию, углу, прилежащему к основанию, и сумме двух боковых сторон. После рассмотренных задач приводится схема решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. В конце §4 имеется блок задач на построение для самостоятельного решения, который содержит задачи на построение суммы, разности углов; деление угла на n частей; построение различных треугольников по различным элементам; разделение данного отрезка на n равных частей; задачи на нахождение ГМТ, равноудаленных от двух данных точек, от трех вершин треугольника, от трех сторон треугольника и т.д. В §5 “Параллельные прямые” рассматривается построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки. §6 “Параллелограммы и трапеции” содержит пункт “Задачи на построение”, в котором рассматриваются методы параллельного переноса, симметрии и примеры задач. Также учащимся предлагается самостоятельно решить задачи на построение трапеций, четырехугольников и треугольников по различным данным элементам, основываясь на изученных методах. В конце главы 1 имеется ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.
В главе 3 “Подобные фигуры” в §4 “Подобие фигур произвольного вида” имеется пункт “Задачи на построение”, в котором рассматривается метод подобия, но задач на применение метода данный пункт не содержит. В §5 “Некоторые теоремы о пропорциональных отрезках” рассматривается задача о построении четвертого пропорционального отрезка. В §6 “Метрические соотношения между элементами треугольника и некоторых других фигур” рассматривается задача о построении отрезка, среднего пропорционального между двумя данными отрезками. §8 “Тригонометрические функции острого угла” содержит пункт “Построение угла по заданной величине одной из его тригонометрических функций”. В §9 “Понятие о приложении алгебры к геометрии” рассматривается задача о разделении отрезка в среднем и крайнем отношении, а затем следует пункт “Алгебраический способ решения геометрических задач”, который раскрывает алгебраический метод решения задач на построение. Следующим пунктом идет “Построение простейших формул” с помощью циркуля и линейки. В конце главы 3 содержится ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.
В главе 4 “Правильные многоугольники” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается задача: вписать в данный круг правильный десятиугольник и определить его сторону в зависимости от радиуса. Также далее в пункте “На сколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля и линейки?”, в котором дается указание, как разделить окружность на определенное равное количество частей (и вписать в окружность правильные многоугольники с таким числом сторон).
В главе 5 “Измерение площадей” в §1 “Площади многоугольников” рассматриваются задачи на построение треугольника (квадрата), равновеликого данному; квадрата, площадь которого равна сумме (разности) площадей двух данных квадратов; площадь которого относится к площади данного квадрата, как m:n; разделить данный треугольник на m равновеликих частей прямыми, параллельными его стороне. В §2 “Площадь круга и его частей” приводится пункт, в котором рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга. В конце главы 5 содержится блок задач на построение.
В сборнике задач также имеются задачи на построение.
Вывод: В учебниках для 5-6 классов задачи на построение практически не рассматриваются как самостоятельные. Чаще всего это задания на построение фигур по заданным размерам. Процент заданий на построение из всех геометрических заданий: 5 класс – 39%, 6 класс – 34%. В целом картина кажется достаточно отрадной. Однако если учесть, что сам по себе геометрический материал в учебниках не превышает 13-16% от всего содержания учебника, то указанный процент заданий на построение падает до 4-6% [3].
Во всех учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках (кроме учебника [7]) рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебниках [7], [8]. В учебнике [6] схема приводится без анализа. В учебнике [5] ее нет.
В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) – по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.
Алгебраический метод решения задач на построение приводится только в учебнике [8]. В учебнике [6] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.
В таблице приведен количественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках:
| Учебники | Класс | Всего задач в учебнике | Из них на построение | Процент от общего числа задач |
| Александров А.Д. и др. “Геометрия 7-9” | 7 | 33 | 8 | 24 |
| 8 | 643 | 95 | 15 | |
| 9 | 556 | 89 | 16 | |
| Атанасян Л.С. и др. “Геометрия 7-9” | 7 | 362 | 90 | 25 |
| 8 | 448 | 64 | 14 | |
| 9 | 321 | 36 | 11 | |
| Погорелов А.В. “Геометрия 7-9” | 7 | 218 | 42 | 20 |
| 8 | 298 | 35 | 12 | |
| 9 | 206 | 10 | 5 |
Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Быть может ситуация обусловлена тем, что к 9 классу у всех школьников уже развито логическое и пространственное мышление, сформированы графические умения и навыки, они легко и верно читают любой чертеж, не затрудняются с его интерпретацией, легко строят любой нужный чертеж по тексту задачи? Увы, ситуация совсем не такова. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать те разделы математики, где самостоятельно сделанная и хорошо понятая графическая интерпретация является тем самым “лучом света в темном царстве”, которого так иногда не хватает школьнику при изучении математики.
1) И.Ф. Шарыгин “Задачи по геометрии (Планиметрия)” [28]
Книга, состоящая из двух частей, включает более 600 задач по планиметрии. Вторая часть содержит параграф, посвященный теме геометрических мест точек. Задач предлагается немного, они достаточно сложные, предназначенные по большей мере для специализированных классов, для студентов. Задачи сопровождаются указаниями и подробными решениями. В некоторых других параграфах второй части, таких как, например, “Треугольник” и “Окружности и касательные”, также встречаются задачи на нахождение геометрического места точек.
2) В.В. Прасолов “Задачи по планиметрии (в двух частях)” [22] [23]
В этот сборник включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными знаниями уровня. Для всех задач прилагаются решения. Книга состоит из двух частей. Первая содержит классические темы планиметрии, вторая – геометрические преобразования и задачи на олимпиадную и кружковую тематику.
Всего 29 глав. За основу классификации задач приняты методы решения геометрических задач. Одна из глав посвящена методу ГМТ, которая содержит достаточное количество задач на построение разного уровня сложности, в которых применяется данный метод. Применяются как основные ГМТ, так и более сложные.
Есть глава, посвященная геометрическим построениям треугольников, четырехугольников, окружностей с помощью различных методов, включает в себя разнообразный набор задач на построение. Кроме того, в этой главе рассматриваются построения с помощью одной линейки, одной двусторонней линейки, с помощью одного прямого угла. Также здесь приводятся необычные построения (например, деление угла на n равных частей).