Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах (стр. 6 из 9)
, (6)где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.
Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле
. Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно 
. (7)В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.
.Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.
Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.
40. Если
на отрезке [a; b], то 
.Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.
При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула
.Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то
.Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении (приложение).
2.3. Физические модели при отработке техники интегрирования.
1. Использование свойств интеграла.
№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м. [4]
Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: P(x)=ax, где а – площадь площадки. Получаем
(т).№2. Тело массой 1 движется с ускорением, меняющимся линейно по закону a(t)=2t-1. Какой путь пройдёт тело за 4 единицы времени от начала движения t=0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?
Решение. Скорость тела в любой момент времени t вычисляется по формуле
v=v0+at.
Используя данные задачи, получаем:
.№3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Какова наибольшая высота, достигаемая телом? [5]
Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v=v0-gt. Движение вверх будет происходить при v=v0-gt>0, т. е. при
. Таким образом, максимальная высота полета равна 
.2. Введение новой переменной.
№1. Задан закон изменения скорости движения материальной точки по прямой:
(время t в секундах, скорость v в метрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 13 с от начала движения (t=0)?Решение. В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках. Назовем её z,
z=2t+1.
При этом надо также от дифференциала dt перейти к дифференциалу dz. Получим
dz=2dt, dt=dz/2.
Вычислим сначала неопределенный интеграл,
Таким образом,
м/c.№2. Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [0,01; 1], если ток изменяется по формуле
.Решение. За элементарный промежуток времени протекает количество электричества
dq=I(t)dt.
В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках.
.Тогда dt=
du.Значит, общее количество электричества равно
.№3. Точка движется по прямой. В начальный момент t=1 с её скорость равна 1 м/с, а затем уменьшается по закону
. Найдите длину пути, пройденного точкой за 4 с от начального момента времени.3. Интегрирование путем подстановки (внесением под знак дифференциала).
№1. Найти величину давления на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости (рис.1); удельный вес жидкости равен γ. [6]
Решение. Проведем горизонтальную полоску на глубине х. Сила давления жидкости на эту полоску равна
.Таким образом,
.Заметим, что 2xdx=dx2, отсюда
.№2. Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, может быть закрыт заслонкой. Определить давление, испытываемое этой заслонкой, если её диаметр равен 60 см, а центр находится на глубине 15 м под водой. [6]
2.4. Приложения интеграла в физике.
Рассмотрим несколько нетривиальных примеров применения интеграла в физике.
Нахождение силы.
№1. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем и точкой. [3]
Решение. Разобьем отрезок [c; c+l] на большое число отрезков. Если отрезки эти малы, то массу каждого из них можно считать точечной и силу гравитационного притяжения между таким отрезком и массой m вычислять по закону всемирного тяготения. Если длина отрезка равна Δх, а расстояние его от начала координат равно х, то сила гравитационного притяжения равна
Δх.Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [c; c+l]. В пределе получим
.№2. С какой силой полукольцо радиуса r и массы М действует на материальную точку массы m, находящуюся в его центре? [3]
Нахождение кинетической энергии.
№3. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. [6]
Решение. Масса кругового кольца толщины dr, находящегося на расстоянии r от центра диска, равна 2πρrdr, где
- поверхностная плотность. Линейная скорость υ=ωrкольца. Следовательно, его кинетическая энергия будет: 
.Поэтому кинетическая энергия диска равна
.№4. Стержень АВ вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси ОО' с угловой скоростью ω=10π рад/с. Поперечное сечение стержня S = 4 см2, длина его l = 20 см, плотностьматериала, из которого он изготовлен, γ= 7,8 • 103 кг/м3. Найти кинетическую энергию стержня. [3]