В теме "Числа, которые больше 1000" предусматривается изучение нумерации и четырех арифметических действий над многозначными числами.
Сейчас, когда дети постоянно слышат не только о миллионах, но и миллиардах, уже нельзя ограничивать их рассмотрением чисел в пределах миллиона. Поэтому предусмотрено ознакомление с классами не только тысяч, но и миллионов, миллиардов. Это дает возможность сформировать и закрепить представления детей о том, как образуются классы чисел, научить их читать, записывать, сравнивать такие числа. Однако выполнение арифметических действий ограничено пределами миллиона. При ознакомлении с письменными приемами выполнения арифметических действий важное значение придается алгоритмизации. Все объяснения даются в виде четко сформулированной последовательности шагов, которые должны быть выполнены. При рассмотрении каждого алгоритма сложения, вычитания, умножения или деления четко выделены основные этапы, план рассуждений, подлежащие усвоению каждым учеником. Это поможет правильно организовать процесс формирования вычислительных умений. В этом процессе должен осуществляться своевременный переход от подробного объяснения каждого шага рассуждений к постепенному свертыванию объяснений, когда выделяются только основные элементы алгоритма. Например: "Делю тысячи, получаю... ", "Делю сотни, получаю... ", "Делю десятки, получаю..." и т.д.
Особого внимания заслуживает рассмотрение правил о порядке выполнения арифметических действий. Эти правила вводятся постепенно, начиная с первого класса, когда дети уже имеют дело с выражениями, содержащими только сложение и вычитание. Здесь они усваивают, что действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо. Во II классе вводятся скобки как знаки, указывающие на изменение порядка выполнения действий. Правила о порядке выполнения действий усложняются при ознакомлении с умножением и делением в теме "Числа от 1 до 100". В дальнейшем, на последнем году обучения в начальной школе, рассматриваются новые для учащихся правила о порядке выполнения действий в выражениях, содержащих две пары скобок или два действия внутри скобок.
В основе построения программы Н.Б. Истоминой лежит методическая концепция, выражающая необходимость целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения - в процессе усвоения математического содержания.
Направленность процесса обучения математике в начальных классах на формирование основных мыслительных операций позволяет включить интеллектуальную деятельность младшего школьника в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с мотивацией и интересами, оказывая тем самым положительное влияние на развитие внимания, памяти (двигательной, образной, вербальной, эмоциональной, смысловой), эмоции и речи ребенка.
Практическая реализация концепции находит выражение:
в логике построения содержания курса, в основе, которой лежит система математических понятий и общих способов действий;
в методическом подходе к формированию понятий и общих способов действий, в основе которого лежит установление соответствия между предметными - вербальными - схематическими и символическими моделями;
в системе учебных заданий, которая адекватна концепции курса, логике построения его содержания и нацелена на осознание школьниками учебных задач, на овладение способами их решения и на формирование у них умения контролировать и оценивать свои действия.
В связи с этим процесс выполнения учебных заданий носит продуктивный характер, который исходя из психологических особенностей младших школьников определяется соблюдением баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением.
В процесс выполнения учебных заданий включается и репродуктивная деятельность, которая связана с использованием необходимой математической терминологии для объяснения выполняемых действий, с вычислениями, с усвоением определенных правил. Но при этом даже выполнение вычислительных упражнений обязательно сопровождается выявлением определенных зависимостей, связей, закономерностей. Для этого в заданиях специально подбираются математические выражения, при анализе которых дети используют математические понятия, свойства и приемы умственных действий. Это способствует не только быстрому формированию вычислительных умений и прочных вычислительных навыков, но и повышению уровня вычислительной культуры обучающихся.
В предлагаемом курсе дети сначала усваивают (или уточняют, если они пришли в школу подготовленными в этом плане) последовательность слов-числительных, которой можно пользоваться для счета предметов. Затем овладевают операцией счета, т.е. устанавливают взаимно однозначное соответствие между предметом и словом-числительным. Заменяя слова-числительные знаками (в произвольном порядке), обучающиеся знакомятся с цифрами и учатся красиво писать их. Можно, например, начать с цифры 1, затем научиться писать цифры 4, 7, 6, 9 и т.д.
В теме "Однозначные числа" учащиеся знакомятся с отрезком натурального ряда чисел от 1 до 9. Пересчитывая предметы данной совокупности и заменяя слова-числительные соответствующими знаками (цифрами), они получают ряд чисел, которым можно пользоваться для счета предметов. Принцип построения этого ряда осознается детьми в процессе выполнения различных заданий, которые связаны с операцией счета, присчитывания и отсчитывания.
Знакомство обучающихся с лучом, отрезком и способом измерения длины с помощью различных мерок позволяет ввести понятие числовой луч и использовать его как наглядное средство для сравнения чисел, а затем для их сложения и вычитания.
В качестве математической основы разъяснения смысла, сложения выступает теоретико-множественная трактовка суммы как объединения множеств, не имеющих общих элементов. Она легко переводится на язык предметных действий, что позволяет при формировании представлений о смысле сложения опираться на опыт детей, активно используя счет и операции присчитывания и отсчитывания.
Для разъяснения смысла сложения используется идея соответствия предметного действия его словесному описанию и математической записи, которые интерпретируются на числовом луче. Для чтения математических записей вводится терминология: выражение, равенство, слагаемые, значение суммы, употребление которой позволяет исключить такой термин, как примеры. Интерпретация сложения на числовом луче помогает ребенку абстрагироваться от предметных действий.
При изучении состава однозначных чисел и формировании представления о смысле вычитания также используется идея соответствия предметной ситуации и математической записи.
Усвоение состава чисел в пределах 10 (таблица сложения и соответствующих случаев вычитания) и понятие о разрядном составе двузначных чисел являются основой для формирования умений складывать и вычитать разрядные десятки, двузначные и однозначные числа без перехода через разряд. В процессе формирования этих вычислительных умений совершенствуются табличные навыки сложения и вычитания в пределах 10, поэтому рассмотрение этих случаев предшествует изучению таблицы сложения однозначных чисел с переходом через разряд и соответствующих случаев вычитания. Для усвоения вычислительных приемов используется соотнесение предметной и знаковой модели, смысл действий сложения и вычитания, анализ и сравнение выражений (установление их сходства и различия), а также задания на выявление различных закономерностей и зависимостей, которые тесно связаны с вычислением результата.
Одной из важных задач курса математики II класса является формирование навыков табличного сложения и вычитания в пределах 20.
Во II классе, так же как и в I, в основе логики построения содержания курса лежит тематический принцип. Исключением является изучение табличных случаев умножения. Эта работа распределяется во времени и органически связана с усвоением понятий: смысл умножения, увеличить в, площадь фигуры, измерение площади. Для формирования представлений о площади применяется та же методика, что и в I классе для формирования представлений о длине, т.е. сначала уточняются представления детей о площади, затем площади фигур сравниваются с помощью различных мерок.
В теме "Умножение" большое внимание уделяется разъяснению детям предметного смысла этого действия, усвоению его определения как суммы одинаковых слагаемых и осознанию новой математической записи.
Для этой цели используются различные виды учебных заданий:
на выделение признаков сходства и различия данных выражений;
на соотнесение рисунка и числового выражения;
на запись числового выражения по данному рисунку;
на выбор числового выражения, соответствующего данному рисунку, и т.д.
Параллельно с усвоением предметного смысла умножения проводится работа, целью которой является формирование навыков табличного умножения. Составление и усвоение таблицы умножения органически включается в темы: "Умножение", "Переместительное свойство умножения", "Увеличение в несколько раз", "Площадь фигуры", "Измерение площади", "Сочетательное свойство умножения". Безусловно, работа, связанная с формированием навыков табличного умножения, продолжается и в других темах. Но, как показывает практика, большинство детей к этому времени достаточно свободно ориентируются в таблице умножения. Этому способствует методика формирования навыков табличного умножения, особенности которой таковы: