Формирование пространственного мышления при изучении векторного пространства у учащихся основной школы (стр. 2 из 11)

И так, если чувственное познание даёт человеку первичную информацию об объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений (образов) о них, то мышление перерабатывает эту информацию, выделят в выявленных свойствах существенные, сопоставляет одни объекты с другими, что даёт возможность обобщения свойств и сознания общих понятий, а на основе представлений образов - строить идеальные действия с этими объектами и тем самым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяет планировать свои действия с этими объектами.

Вся эта огромная работа выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, обобщения и иониретизации

Сравнение - это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выявления особенных свойств) каждого из сравниваемых объектов между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций.

Анализ - это мысленное расчленение предмета на части.

Синтез - это мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно.

Абстракция - это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное слово или признак сам становится предметом мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путём выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяжённости и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств (материала, цвета, массы и т. д.) Но при этом производится не только абстрагирование выделение указанных свойств и отбрасывание всех остальных, но и идеализация этих свойств путём мысленного перехода к предельным формам, которые реально, конечно, не существуют (идеальная прямая, точка, плоскость и т. д.).

Обобщение используется в двух различных формах: 1). как мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы на основе выделенных инвариантов (эмпирическое обобщение); 2). как мысленное выделение в рассматриваемом объёме или нескольких объектах, в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия, для целого класса объектов (научно-теоретическое обобщение)

Конкретизация также может выступать в двух формах: 1. как мысленный переход от общего к частному 2. как восхождение об абстрактно-общего и конкретно- частному путём выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего, как наполнение, обогащения абстрактно-общего конкретным содержанием.

В зависимости от связи между чувственными и отвлечёнными элементами различают три вида мышления: 1. наглядно-действенное; 2. наглядно-образное; 3. теоретическое (отвлеченное, понятийное).

Наглядно-действенное мышление характерно для ребёнка младенческого возраста (до 3-х лет включительно), когда мысленное познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами.

Наглядно-образное мышление представляет собой мышление с помощью наглядных образов, поэтому такое мышление подчинено восприятию, в нём отсутствует в развёрнутом виде абстрагирование.

1.2 Векторное пространство

Вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1). Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху,

Той же буквой, но не жирной , а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить , что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому. Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Сложение векторов.

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику» – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Суммой векторов а и в с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с с координатами а1 + в1, а2 + в2, т.е.

а (а1; а2) + в (в1;в2) = с (а1 + в1; а2 + в2).

Следствие:

а + в = в + а , (коммутативность)

а + ( в + с ) = (а + в) + с. (ассоциативность)

Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.

а и в – векторы (рис.5).

Пусть ОА =а, ОВ = в.

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

2. а = ОА = ВС,

в = ОВ = АС, т.к. параллелограмм.

3. ОА + АС = ОВ + ВС = ОС, значит а + в = в + а. ч.т.д.

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.