Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы (стр. 2 из 3)
Целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в зависимости от условия предложенной для решения задачи – с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути, если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А(1;2)).
Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям.
Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).
Изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.
Например, введение третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k¹0) и b – постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:
1. Найти производные функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);
2. Найти хотя бы одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).
Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.
3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции
Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: "Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a)."
С помощью этой теоремы можно обосновать формулу Ньютона-Лейбница. Изучение доказательства проведем методом подготовительных задач.
1. Приращение аргумента, приращение функции.
Задача: "На рисунке площадь криволинейной трапеции представлена как функция от x. Укажите на этом рисунке
S(x); S(x+Dx); DS=S(x+Dx) – S(x)".
S(x) = a A B x; S(x+Dx) = a A C
; DS = x B C ;(необходимо потому, что учащиеся встречаются с новой геометрической интерпретацией уже известных понятий ).
2. Определение производной.
"Запишите определение производной функции применительно к функции S(x) ". В результате получим запись:
3. Понятие функции, непрерывной в точке.
"Пусть f(x) – функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x+∆x и точку с, лежащую между ними. Пусть ∆x→0. К чему стремится f(c)? Из графических соображений получаем ответ, что если
∆x→0, то с→x, а f(c)→f(x).
4. Утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием ∆x можно заменить равной площадью прямоугольника с тем же основанием ∆x и высотой f(c), где с – некоторая точка отрезка [x; x+∆x].
Существование точки с утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ∆x. Построить прямоугольник, у которого основание было бы равно ∆x, а площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.
5. Определение первообразной.
"Пусть S(x) – первообразная f(x). Поясните, что это обозначает. Пусть S(x) – одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)"(привычное определение первообразной применяется в новых обозначениях).
Доказательство теоремы целесообразно разбить на три части:
1) Введём функцию S(x). Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a,b], которая выражает зависимость площади криволинейной трапеции от аргумента x. Дадим аргументу x приращение ∆x, такое, что
.Тогда приращение функции
в точке x:
(∆x полагаем положительным)
2) Докажем что функция S(x) является первообразной для функции
для всех 
Согласно определению производной,
Так как 
- площадь криволинейной трапеции с основанием 
, то её можно заменить равной площадью прямоугольника с основанием и высотой f(c), где 
Тогда:
Поскольку с лежит между x и x+∆x, то при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим образом:
Итак,
.3) Подведем итоги. Мы доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг от друга на некоторую константу С:
(1)Пусть x=a равенство (1) примет вид:
, откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)Рассмотрим простейший случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2. По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,
Первообразная данной функции
, а разность 
Таким образом, этот пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение первообразной:
. Методика использования рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой: вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится примет, подтверждающий эту теорему.4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе
Методическая схема введения понятия интеграла.
1)привести подводящую задачу;
2)сформулировать определение интеграла
1) Задачи, подводящие к этому понятию.
Задача№1. На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной графиком этой функции и прямых x=a и x=b.
Этапы решения задачи: 1) построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади
[a,b] разбиваем на n равных частей:
Одна сторона прямоугольника -
, вторая - 
, поэтому: 
2) Выражение площади
криволинейной трапеции через 
.Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее значение
. После сравнения получаем: 
.Задача№2. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью
, где - непрерывная на отрезке 
функция. Требуется найти путь, который пройдет материальная точка за промежуток времени от 
до 
.