Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы (стр. 3 из 3)
В простейшем случае, когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом:
Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида
, которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: 
. Такие пределы встречаются при решении многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение 
. Таким образом, по определению: 
,где f(x) – непрерывная на [a,b] функция;
- точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; 
- длина каждой из этих частей.Запишем результаты решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b],
Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от
до 
со скоростью 
, где - непрерывная на отрезке 
функция,
.Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции
и 
,получаем:
,где F – первообразная для f на [a,b] – формула Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.
Анализ материала учебных пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении выводам:
1) определение интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто применяемых свойств интеграла. В процессе доказательства этих свойств понятие интеграла и его геометрический смысл усваиваются глубже. Можно предложить, например, установить справедливость следующих утверждений:
a)
b) если функция f имеет на отрезке [a,b] первообразную, то
,где C – некоторая постоянная;
c) доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования:
,где f(x) – функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.
Предложенные упражнения полезны ещё и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между понятиями "производная", "первообразная", "интеграл" и их свойствами.
2) Понятие "интеграла" вводится для функции непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи, например, такие:
Задача№1 Возможно ли вычислить
? (подынтегральная функция имеет точку разрыва 
), принадлежащую отрезку 
).Задача№2 Найти ошибку в вычислении интеграла:
(о том, что ошибка действительно допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным числом).
Задача№3 При каких значениях пределов интегрирования интеграл существует:
?В точках 5 и –5 подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:
Задача№4 Вычислить: а)
; б) 
; в) 
(в двух последних случаях интегралы не могут быть вычислены, т.к. подынтегральная функция не определена в каждой точке отрезка, заданного проделами интегрирования).
3) Установление связи понятий "интеграл" и "первообразная" происходит через обращения к площади соответствующей криволинейной трапеции. Уделяя внимание геометрическому смыслу интеграла, не следует ограничиваться только геометрической иллюстрацией в процессе решения задач на вычисление интегралов. Целесообразно специально подчеркнуть, что, опираясь на геометрический смысл интеграла, иногда получаем возможность: установить существование более простого по сравнению с рассмотренным способом вычисления интегралов (например, по симметричному относительно точки 0 промежутку от четной или нечетной функции). Сделать это можно, обратившись к задачам: не только вычислять площадь фигур, но и находить числовые значения интеграла, вычисление которых по известным учащимся формулам выполнить не удается. Например:
.Задача№1 Показать, что если f – непрерывная, четная на отрезке [-a,a] функция, то:
.Задача№2 Показать, что если f – непрерывная, нечетная на отрезке [-a,a] функция, то:
.Вычислить:
; 
; 
. В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:
· введение понятий первообразной и интеграла;
· ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;
· раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:
провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.
Литература
1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.