Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики (стр. 4 из 7)
1 четверть:
, 
; 
2 четверть:
, 
; 
и т.д.Определение тригонометрической функции
выглядит так:Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной
окружностью. Пусть точка
единичной окружности получена при повороте точки 
на угол в 
радиан. Ордината точки - это синус угла 
. Числовая функция, заданная формулой 
, называется синусом числа, каждому числу 
ставится в соответствие число 
.Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:
; 
. Построим график функции на 
.
Делим единичную окружность и отрезок на 16 равных частей.
Через точку
проводим прямую, параллельную 
. Проводим прямую 
до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции , называемого синусоидой. Отрезок оси 
, с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.
Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что
. Поэтому во всех точках вида 
, где 
, значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси .Для построения графика косинуса следует вспомнить, что
. Следовательно, значение косинуса в произвольной точке 
равно значению синуса в точке 
. Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние 
в отрицательном направлении оси . Поэтому график функции 
также является синусоидой. Для функций 
и 
определяется аналогично. Область определения - множество всех чисел, где 
.
Построение графика: проведем касательную
к единичной окружности в точке 
. 
Пусть
произвольное число, для которого . Тогда точка 
не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая 
пересекает 
в некоторой точке 
с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая 
проходит через точки 
и 
. Поэтому она имеет уравнение 
.Абсцисса точки
, лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой 
находим, что ордината точки равна 
. Итак, ордината точки пересечения прямых 
и равна . Поэтому прямую называют линией тангенсов. 
Нетрудно доказать, что абсцисса точки 
пересечения прямой с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку 
, равна 
при 
.
Поэтому прямую m называют линией котангенсов.
Область значений 
- вся числовая прямая. Докажем это для функции 
. Пусть 
- произвольное действительное число. Рассмотрим точку 
. Как только что было показано, 
равен . Следовательно, функция принимает любое действительное значение , ч.т.д.
Построение графика аналогично построению 
.
Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций: