Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики (стр. 6 из 7)

,

а затем применяется уже известная формула.

Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив

.

Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:

={ , }=

=

,

но:

Таким образом:

Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.

Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):

1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;

2) основные тригонометрические тождества:

Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;

3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;

4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:

Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:

Задача №1.

Доказать тождество:

Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:

8 cos4 +sin8 =2sin8 cos4 +2sin4 cos4 =2cos4 (sin8 +sin4 )=4cos4 sin6 cos2 , и т.д.

Задачи №2.

Упростить выражение

а)

Можно применить формулы понижения степени:

=

{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: } =

б)

Задача №3

Преобразовать в произведение:

а) cos5

+sin8 +cos9 +cos12 =(cos5 +cos12 )+(cos8 +cos9 )=

=2cos17/2

cos7/2 +2cos17/2 cos /2=2cos17/2 (cos7/2 +cos /2)=

=4cos17/2

cos2 cos3/2 =4cos3/2 cos2 cos17/2

б) 3+4cos4

+cos8 =3(1+cos4 )+(cos4 +cos8 )=6cos²2 +

+2cos6

cos2 =2 cos2 (3cos2 +cos6 )=2cos2 ((cos2 +|cos6 )+

+2cos2

)=2cos2 (2cos4 cos2 +2cos2 )=4cos²2 (cos4 +cos2 )=

=4cos²2

cos²2 =8cos⁴2

Задача №4

Найти sin⁴

+cos⁴ , если известно, что:

sin

-cos =1/2

sin⁴

+cos⁴ =(sin² +cos² )²-2sin² cos² =1-2sin² cos² =

=1-1/2sin²2

={sin4 -cos =1/2 (sin -cos )²=