Например, дана задача: «В магазин привезли ∆ ящиков огурцов по ◊ кг в каждом. Сколько огурцов продали, если осталось ░ кг?»
Для решения данной задачи ученику нужно самостоятельно обобщить решение данных ранее задач. Заменить символы числами и решить задачу, но решение записать на языке тех данных, которые даны в задаче.
4 тип задания - дополнение
Если в задаче известно лишь в общей форме цель деятельности, а поиску подвергаются и подходящая ситуация, и действия, ведущие к достижению цели, это продукт действия творческого типа, в результате которого создается объективно новая ориентировочная основа деятельности. Человек действует "без правил", но в известной ему области, создавая правила действия.
Например, дана задача: "Билеты на самолет до Архангельска купили 45 человек. Первым рейсом улетело 15 человек, вторым столько же,..."
Задание: необходимо поставить вопрос к данной задаче и решить ее.
На этой базе мы вывели следующие 3 уровня умения решать задачи: высокий, средний и низкий, в зависимости от количества баллов полученных в результате решения четырёх типов заданий.
Первое задание мы оцениваем в 1 балл, второе – 2 балла, за третье и четвертое ученик может получить по 3 балла.
Таким образом, ученик считается на высшем уровне, если получает 8 или 9 баллов, на среднем уровне, если получает 5, 6 или 7 баллов и на низком, если получает 1, 2, 3 или 4 балла.
Мы будем считать, что методика обучения решению задач эффективна, если в результате ее применения происходит повышение уровня умения решать задачи. Выработке умения решать составные задачи помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.
1.5. Понятие преобразования задачи.
Анализ литературы показывает, что последнее время уделяется внимание работе над решенной задачей. Предлагаются следующие виды работ:
1. Введение в условие задачи новых данных;
2. Изменение вопроса без изменения условия;
3. Изменение условия без изменения вопроса;
4. Изменение условия и вопроса;
5. Сравнение содержания и решения данной задачи с содержанием и решением другой задачи;
6. Исследование решения (Сколько способов решения имеет задача? При каких условиях она не имела бы решения? Возможны ли другие методы решения?).
7. Обоснование правильности решения (проверка решения задачи составлением обратной задачи).
Некоторые из перечисленных видов работ предусматривают умение детей составлять задачи, другими словами формулировать некоторый новый текст.
Составлять задачи можно двух видов: связанные с решенной и не связанные с решенной.
К задачам, не связанным с решенной, относятся задачи, составленные по выражению или по краткой записи.
К задачам, связанным с решенной задачей, относятся задачи обратные данной, аналогичные задачи, преобразованные задачи.
Мы будем подробнее рассматривать задачи, связанные с решенной, т.к. преобразование задач – есть частный случай обучения составлению задач.
Контрольные работы, проведенные перед началом эксперимента, показали, что большинство учеников не могут самостоятельно составлять задачи, связанные с решенной, а именно, преобразовывать задачи.
Рассмотрим сначала, как трактуется понятие «преобразование» в различной литературе.
В Толковом Словаре русского языка Ожегова С.И., Шведовой Н.Ю. «преобразование» - крупное изменение, перемена (книжн.).
В Экономико-математическом словаре Лопатников Л.И. [13, с. 105] рассматривает «преобразование» [transformation] как изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на “входе” предприятия (живой труд, сырье и т. д.) в переменные на “выходе” (продукты, побочные результаты, брак). Это пример в ходе вещественного процесса. Решение задачи, разработка модели, передача сведений о выполнении плана - все это примеры преобразования информации. На практике оно производится различными способами обработки данных.
В Толковом словаре Ушакова понятие «преобразовывать» предлагается 3 значения:
1. В корне изменить, переделать на другой лад.
2. Придать чему-нибудь другой вид, образ, преобразить кого-нибудь либо что-нибудь.
3. Превратить из одного вида, качества в другой вид, в другое качество.
Большой Энциклопедический словарь рассматривает преобразование как замену одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам.
В методической математической литературе этот вопрос практически не освещен. Методисты много говорят об этапе работы над задачей после её решения, но конкретно не останавливаются на методике его проведения. Понятие «преобразование задач» встречается в работах Бантовой М.А., Истоминой Н.Б. и др., но разъяснение данного понятия они не предлагают. Поэтому мы решили дать свое определение.
Вернемся к структуре задачи: задача состоит из условия и требования. Условие и требование включает некие числовые данные, известные и искомые, связанные между собой. Если мы изменим эти связи, то получим новую по сравнению с исходной задачу, т.е. преобразованную задачу.
Таким образом, преобразование задач – это изменение связи между числовыми данными в некотором тексте.
Изменение связи между числовыми данными может быть следующих видов:
1. изменение связи между числовыми данными условия и требования.
Например, дана задача: «На одном столе лежало 5 книг, на другом столе на 2 книги больше. Сколько книг лежало на втором столе?»
Сделаем краткую запись:
I стол - 5 кн.
II стол - ?, на 2 кн. больше
Преобразуем задачу.
Например: «На одном столе лежало 5 книг, на другом столе на 2 книги больше. Сколько книг лежало на двух столах?»
Сделаем краткую запись:
I стол - 5 кн.
II стол - ?, на 2 кн. Больше
Таким образом, мы преобразовали простую задачу в составную.
2. изменение связи между числовыми данными в условии.
Например, дана задача: «В красной вазе стояло 7 роз, а в зеленой на 4 меньше. Сколько роз стояло в двух вазах?»
Составим краткую запись:
Крас. ваза – 7 роз
Зел. ваза - ?, на 4 меньше
Преобразуем задачу.
Например: «В красной вазе стояло 7 роз, а в зеленой на 4 больше. Сколько роз стояло в двух вазах?»
Составим краткую запись:
Крас. ваза – 7 роз
Зел. ваза - ?, на 4 больше
Таким образом, преобразовав задачу, мы изменили отношения между объектами задачи с «меньше на» на «больше на».
3. изменение связи между числовыми данными в условии и числовыми данными условия и требования.
Например, дана задача: «У Маши было 5 рублей, а у Вити на 3 больше. Сколько денег у Вити?»
Составим краткую запись:
Маша – 5 руб.
Витя - ?, на 3 больше
Преобразуем задачу.
Например: «У Маши было 5 рублей, а у Вити на 3 меньше. Сколько денег у Вити и Маши вместе?»
Составим краткую запись:
Маша – 5 руб.
Витя - ?, на 3 меньше
Таким образом, мы преобразовали простую задачу в составную и изменили отношения между объектами задачи с «меньше на» на «больше на».
Упражнения по преобразованию задач является чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения.
Методисты включают в работу по преобразованию задач следующие виды упражнений:
1. Изменение поставленного к условию задачи вопроса.
2. Изменение условия задачи без изменения поставленного вопроса.
3. Изменение условия и вопроса задачи.
4. Преобразование данных задач в задачи родственных им видов, т.е в «задачи, в которых величины связаны одинаковой зависимостью. Так, родственными будут задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям, так как в них величины связаны пропорциональной зависимостью. Можно одну задачу преобразовать в другую родственного вида путем выполнения арифметических действий над числовыми значениями величин. В результате такого преобразования и сравнения способов решения задач родственных видов приведем детей к обобщению способов решения этих задач». [3, с. 175]
5. Составление аналогичных задач, т.е. составление задач, имеющих одинаковую математическую структуру, не изменяя связь между данными и искомым. Аналогичные задачи надо составлять после решения данной готовой задачи, предлагая при этом, когда возможно, изменять не только сюжет и числа, но и величины.
6. Составление обратных задач, т.е. составление задач, в которых «при тех же условиях одно из данных первой задачи служит искомым во второй и искомое первой входит в число данных второй». [21, с. 12] При составлении обратных задач связи между числовыми данными не должны изменяться.
Мы же остановимся в нашей дипломной работе на первых трёх видах упражнений, и будем говорить о преобразовании задач, подразумевая именно изменение поставленного к условию задачи вопроса, изменение условия задачи без изменения поставленного вопроса, изменение условия и вопроса задачи, т.к. именно этим видам работ уделено наименьшее количество внимания в методических пособиях.
Изменение поставленного вопроса.
После решения некоторых задач полезно предложить детям изменить вопрос задачи. Например, пусть ученики решили задачу: Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из Москвы и Киева. Московский поезд проходил 68км в час, а киевский 75км в час. Через сколько часов поезда встретятся, если расстояние от Москвы до Киева 858км?» После решения задачи можно предложить изменить вопрос так, чтобы спрашивалось о расстоянии. Учащиеся могут поставить такие вопросы: На каком расстоянии от Москвы (от Киева) произошла встреча? Какое расстояние прошел каждый поезд до встречи? Какое расстояние надо пройти каждому поезду после встреча до места назначения? На сколько километров больше прошел до встречи киевский поезд? И т.д.