Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 3 из 10)

Все утверждения, сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгим обоснованием. Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений - метод "уединения радикала". Не смотря на то, что учебник не отличается обилием упражнений, предлагаемые задания разнообразны, различной степени сложности

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

В учебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В учебниках [13] и [4] материал по теории методов решения скудный, но довольно строгий. В большом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебниках [2] и [10].

В каждом учебнике рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных переходов к системе, состоящей из уравнения и неравенства. В учебниках [2] и [10] рассмотрены такие общие методы решения уравнений как метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально-графический метод

В учебниках [1] и [13] не рассмотрено решение иррациональных неравенств. В учебнике [2] материал по решению иррациональных неравенств скудный, изложение не достаточно строгое. В учебниках [4] и [10] теория по способам решения иррациональных неравенств вида

, рассмотрена подробно, изложение теории строгое. Только в учебнике Виленкина рассматривается решение иррационального неравенства вида .

Наиболее большой объем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенств представлен в учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений не много, но они разнообразны.

Основные понятия, относящиеся к уравнениям

Равенство вида

, (1)

где

и - некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x). Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x.

Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при

и равенство является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций и и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ этого уравнения.

В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым (с точки зрения нахождения корней).

Есть одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзя выполнять преобразования, которые могут привести к потере корней.

Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение

, (2)

которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Уравнения (1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.

Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут

или (1) (2), а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут или (1) (2).

Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильным ему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является обязательной.

Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).

Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

, (3) если выполнены следующие условия: каждый корень уравнения (1) является корнем, по крайней мере, одного из уравнений (3); любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнении я (1).

Если указанные условия выполнены, то множество корней уравнения (1) является объединением множеств корней уравнений (3).

Если уравнение записано в виде

, (4)

то каждое решение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений

(5)

Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).

Например, если

, то - корень уравнения , но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция не определена при .

Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5).

Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений

и , а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции и .

В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5).

Справедливо более общее утверждение: если функция

определена при всех x таких, что , а функция определена при всех x таких, что , то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18]

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Все преобразования уравнений можно разделить на два типа:

равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному.

Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней. [15]

Рассмотрим некоторые преобразования уравнений и выясним, к каким типам они относятся.

Перенос членов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения

(1)

к уравнению

. (2)

Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1)

(2).

В частности,

.

Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]

Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения

(3)

к уравнению

. (4)