Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 6 из 10)

равносильное уравнению

. (2)

Уравнение (2) является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению

, или

Это уравнение является следствием уравнения (2) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни

Первый корень удовлетворяет исходному уравнения, а второй - не удовлетворяет.

Ответ.

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с "расклеиванием" корней, то есть использование формулы

. [13]

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение

. Посмотрите, оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному:

не имеет смысла при

. Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Ответ.

Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

III. Существует еще более опасное действие - сокращение на общий множитель. [17]

Пример 10. Решить уравнение

"Решение". Сократим обе части уравнения на

, получим

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения

было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения

. Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Вот правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

Это уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение

Ответ.

Применение общих методов для решения иррациональных уравнений

1. Метод разложения на множители.

Суть этого метода заключается в следующем: уравнение

можно заменить совокупностью уравнений:

;

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. Приведем пример применения метода разложения на множители при решении иррациональных уравнений. [10]

Пример 11. Решите уравнение

Решение. Для решения таких уравнений следует пользоваться правилом расщепления:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. [17]

Первый множитель равен нулю при

, но тогда второй множитель потеряет смысл, так как при

он равен

. Значит,

решением данного уравнения быть не может.

Второй множитель равен нулю при

или

. Первый множитель определен для всех действительных чисел, значит,

могут быть решениями данного уравнения. Ответ.

2. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или "метод замены". Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Положив

, получим существенно более простое иррациональное уравнение

. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Далее последовательно получаем:

;

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение

показывает, что

- корень уравнения, а

- посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение

, т.е. квадратное уравнение

, решив которое находим два корня:

Ответ:

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение так:

Видно, что если ввести новую переменную

, то уравнение примет вид

, откуда