Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 9 из 10)

Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств. [8]

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]

Поэтому основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. [17]

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид: [16], [17]

(или );

(или );

(или ).

Иррациональное неравенство

(или ) равносильно системе неравенств

или . {1}

Первое неравенство в системе {1} является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство

(или ) равносильно совокупности двух систем неравенств

или . {2}

Обратимся к первой системе схемы {2}. Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе - условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы {2} соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства - арифметический корень - неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство

(или ) равносильно системе неравенств

или . {3}

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе {3} является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство

выполняется при этом автоматически.

Схемы {1}-{3} - наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]

Пример 1. Решить неравенство

.

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, следовательно, возводить это неравенство в квадрат нельзя. И не надо, поскольку левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию

.

Ответ.

.

Пример 3. Решить неравенство

.

Решение. В соответствии со схемой {1} решения неравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Условие

выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Ответ.

.

Пример 4. Решить неравенство

.

Решение. Это неравенство решается при помощи схемы {2}. В данном случае

, поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному . Ответ. .

Пример 5. Решить неравенство

.

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы {1}. Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

Ответ.

.

Пример 6. Решить неравенство

.

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы {2}. Оно равносильно совокупности двух систем

Ответ.

.

Пример 7. Решить неравенство

.

Решение. Согласно схеме {3}, данное неравенство равносильно системе

Ответ.

Более сложно решение иррациональных неравенств вида

.

Поскольку

, , то должны выполнятся условия , , (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству .

(соответственно неравенству

), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство

.

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Последнее неравенство этой системы приводится к виду

, откуда находим, что . Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, т.е. имеет вид .

Ответ.

.

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться способ подстановки или введения новой переменной.

Весьма эффективны так называемые рационализирующие подстановки. Применение рационализирующих подстановок позволяет привести функцию, иррациональную относительно исходной переменной, к рациональной функции относительно новой переменной. [17]

Пример 9. Решить неравенство

.