Розділ 1. Теоретичні основи дослідження процесу опрацювання простих арифметичних задач
1.1 Сутність і особливості процесу розв’язування простих математичних задач в початковій школі
Одним із засобів організації цілеспрямованої і систематичної роботи над розвитком молодших школярів, формуванням математичної культури у процесі вивчення початкового курсу математики є навчальні задачі. Виконуючи їх, учні оволодівають новими математичними знаннями, прийомами активізації розумової діяльності, закріплюють і вдосконалюють уміння та навички.
Поняття ”математична задача” розглядалося в працях Г.А. Балла, Г.П. Бевза, Є.С. Березанської, М.В. Богдановича, П.М. Ерднієва, Ю.М. Колягіна, Л.М. Фрідмана та ін. Серед математичних задач в окрему групу виділяються текстові. До текстових відносимо задачі, в яких описується кількісна або якісна сторона реальних процесів, явищ чи ситуацій та міститься вимога знайти шукану величину, що знаходиться у зв’язку із даними в задачі величинами [15, 70].
Термін «задача» вживається в різних значеннях. У найширшому плані «задача передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна» [58, 22]. У психологічному аспекті задача розглядається як «свідома мета, що існує в певних умовах, а дії — як процеси або акти, спрямовані на досягнення її, тобто на розв'язування задачі» [47, 20].
Задачі виникають під час реальних проблемних ситуацій. Останні постають тоді, коли людина (суб'єкт) в своїй діяльності, спрямованій на якийсь об'єкт, натрапляє на певні труднощі [39, 107]. Якщо людина усвідомлює ці труднощі і хоче подолати їх, то в ній активізується розумова діяльність. Щоб проаналізувати і описати проблемну ситуацію, людина виходить за її межі і дивиться на неї «збоку». Такий опис проблемної ситуації і є задачею. Задача — це вже об'єкт, який можна передавати іншій людині.
Під математичною задачею розуміють «будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, побудованих людським розумом на матеріалістичній основі знань про навколишній світ» [20, 17].
Арифметичною задачею називають «вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і лінійну залежність, яка пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою» [56, 37].
В умові сюжетних задач даються окремі значення величини, що характеризують кількісну сторону явища, що розглядається, і деякі залежності (відношення) між цими значеннями, причому ці залежності можуть містити певні числа. Сюжетну задачу, математичну модель якої можна записати у вигляді числового виразу, що містить тільки одну арифметичну дію, називають простою задачею. Задачу, для розв'язування якої треба виконати дві чи більше дій, називають складеною.
Розв’язуючи математичну задачу, школяр знайомиться із ситуацією, що в ній описана, з математичною теорією її розв’язання, пізнає нові методи розв’язання або нові розділи математики. Інакше кажучи, розв’язуючи математичні задачі, учень набуває математичних знань, підвищує свою математичну культуру [30, 21].
Розв’язування математичних задач привчає виділяти умови і висновки, дані і шукані величини, знаходити спільне; порівнювати і протиставляти факти. Цей процес виховує правильне мислення, і перш за все привчає до повноцінної аргументації. У молодших школярів формується особливий стиль мислення і збереження формально-логічної схеми міркувань, лаконічність висловлювань, чітка розмежованість ходу мислення, набування навичок правильного використання і розуміння математичної символіки.
Значення математичних задач полягає у тому, що вони:
1.Сприяють розвитку пізнавальної діяльності учнів та формують їх цілісний розвиток та математичну культуру: сприймання, уявлення, уваги, пам’яті, мислення, мову.
2.Допомагають формувати творчі здібності школярів, елементи яких проявляються в процесі вибору найбільш раціональних способів розв’язання задач, в математичній чи логічній кмітливості.
3.Дозволяють учням глибше зрозуміти роль математики в житті, виробляють стиль міркувань, потребу у чіткій аргументації.
4.Допомагають підвищити інтерес до математики, сприяють розвитку їх математичних здібностей, формують математичне мовлення та культуру записів [9, 26].
У початковій школі математичні задачі виконують ряд дидактичних функцій. Виділяють чотири їхні функції – навчальна, розвиваюча, виховна і контролююча [6, 213-214].
Виховні функції задач спрямовані на формування в учнів наукового світогляду. Як виховний засіб задачі дають змогу пов'язати навчання з життям, ознайомити учнів із пізнавально важливими фактами. Числові дані задач характеризують успіхи економічного зростання в нашій країні, трудові досягнення колективів підприємств, показують зростання добробуту й культури українського народу. Це виховує у дітей свідоме ставлення до навчання, любов до України, бажання зробити власний внесок у загальну справу. Внутрішня краса самої математики, оригінальність прийомів розв'язування задач збуджують у дітей естетичні почуття.
Під розвивальними розуміють функції задач, спрямовані на формування в учнів науково-теоретичного, зокрема функціонального, стилю мислення, на оволодіння ними прийомами розумової діяльності. У процесі розв'язування задач учні виконують різні розумові операції (аналіз, синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення), висловлюють судження і міркування. Для активізації розумових дій учнів під час розв'язування задач запитання треба ставити так, щоб вони спонукали до порівнювання, зіставлення, перевірки тощо.
Розвиваючій функції задач останніми роками приділяється особлива увага. Не випадково Д. Пойа, Е. Резерфорд, А. Ейнштейн та інші зазначали, що задачі не тільки і не стільки мають сприяти закріпленню знань, тренуванню в їх застосуванні, скільки формувати дослідницький стиль розумової діяльності, метод підходу до явищ, що вивчаються. Розвиваюча функція задач спрямована на розвиток мислення учнів, на формування в них розумових дій та прийомів розумової діяльності, просторових уявлень, уяви, алгоритмічного мислення, вміння моделювати ситуацію тощо.
Задачі є найважливішим засобом контролю й оцінки знань учнів з математики. Самостійне розв'язування учнями текстових задач як засіб оберненого зв'язку (учень — учитель) дає змогу виявляти вміння правильно обирати і виконувати арифметичні дії, судити про розвиток мислення школярів [47, 20].
Текстові задачі, які відображують конкретні життєві ситуації, використовуються для ознайомлення учнів з певними математичними поняттями та закономірностями, для з'ясування взаємозв'язків між словом і символом, між символом і поняттям. Навчальна функція спрямована на формування в учнів початкових класів системи математичних знань, умінь і навичок (як передбачених програмою, так і розширюючих і поглиблюючих її зміст) на різних етапах засвоєння. Навчальні функції задач можна поділити на функції загального, спеціального і конкретного характеру.
У деяких випадках формування теоретичних знань через задачі може бути організоване у вигляді проблемної форми навчання. Навчальні функції задач виявляються також у здійсненні принципу політехнізації та в процесі контролю знань і математичного розвитку учнів [4, 149].
Під загальними навчальними функціями розуміють функції задач, які мають місце в процесі навчання не тільки математики, а й всіх предметів природничо-математичного циклу; спеціальні навчальні функції задач - це загальні функції, співвідносні тільки з вивченням математики; конкретні навчальні функції задач – часткові види із спеціальних функцій.
До числа загальних функцій задач відносяться ті, які спрямовані на формування в студентів основних понять (на рівні уявлень, засвоєння, закріплення); різних зв’язків між поняттями (від роду до виду, внутріпредметних, міжпредметних); провідних ідей, законів, принципів, положень; різних зв’язків між провідними ідеями, законами, судженнями).
Розрізняють кілька типів задач згідно навчальної функції:
1) Задачі на засвоєння математичних понять. Відомо, що формування математичних понять успішно проходить за умови ретельної клопіткої роботи над поняттями, їх означеннями і властивостями його означення; необхідно розібратись у смислі кожного слова – означення, чітко знати властивості поняття, що підлягає вивченню. Такі знання набувають перш за все при розв’язанні задач і виконанні вправ.
2) Задачі на оволодіння математичною символікою. Найпростіша символіка вводиться в початковій школі (знаки дій, рівності та нерівності, дужки, знаки кута, паралельності і т.д.). Правильному використанню символів слід вчити, розкриваючи їх роль і значення в процесі розв’язування задач.
3) Задачі для навчання доведенням. Навчання доведенням – одне з найголовніших завдань навчання математики. Найпростішими задачами, з розв’язання яких практично начинається навчання доведенням, є задачі-питання та елементарні задачі на дослідження. Розв’язання таких задач полягає у знаходженні відповіді на запитання і доведення. Метою розв’язання задач – питань є осмислення, уточнення понять, що вивчаються, і зв’язків між ними.
4) Задачі для формування математичних умінь і навичок [58, 24-25].
У нашому дослідженні основна увага приділяється задачам першого і четвертого видів.
Текстові задачі складаються з умови і вимоги. Умова і вимога задачі включають в себе дані (відомі, невідомі, шукані), їх числове значення і зв’язки між ними. У результаті встановлення взаємозв’язків між умовою й вимогою визначається оператор задачі – окрема дія (при розв’язуванні простих задач) або сукупність дій (при розв’язуванні складених) та їх обґрунтування.