Методы решения задач на построение (стр. 3 из 8)

Рассмотрим еще один пример анализа. Требуется вписать окружность в данный треугольник. Пусть АВС – данный треугольник (рис. 7). Чтобы вписать в него окружность, надо определить положение ее центра и найти величину радиуса.

Представим себе, что точка О – центр вписанной окружности, а ОМ – радиус проведенный в какую-либо из точек касания окружности к сторонам треугольника (например, в точку касания окружности к стороне АВ). Тогда отрезок ОМ перпендикулярен к прямой АВ. Поэтому ОМ – расстояние центра вписанной окружности от стороны треугольника АВ. Так как все радиусы окружности равны, то центр окружности одинаково удален от всех сторон треугольника и, следовательно, прямые ОА, ОВ и ОС служат биссектрисами (внутренних) углов треугольника АВС. Этих соображений, очевидно, достаточно для построения центра и определения радиуса искомой окружности.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или раннее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся опять к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник АВС. Как показывает проведенный выше анализ этой задачи, для построения искомой окружности нужно последовательно построить (см. рис. 7):

1) биссектрисы каких-либо двух внутренних углов данного треугольника;

2) точку их пересечения О;

3) прямую, проходящую через точку О, перпендикулярно прямой АВ;

4) основание М проведенного перпендикуляра;

5) окружность (О, ОМ).

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

Так, чтобы провести доказательство правильности приведенного выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная нами окружность (О, ОМ) действительно коснётся всех сторон треугольника АВС. Для этого, прежде всего заметим, что прямая АВ касается проведённой окружности, так как эта прямая перпендикулярна к радиусу ОМ.

Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны АВ данного треугольника АВС. Далее замечаем, что центр окружности О одинаково удалён от всех сторон треугольника, так как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны АС или от стороны ВС также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам треугольника АС и ВС, то основания этих перпендикуляров (точки N и Р на рис. 8) расположатся на той же окружности.

Таким образом, каждая из прямых АС и ВС перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности.

Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;

3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.

Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: выяснить при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом?

Нередко школьники проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения какой-либо сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.

Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.

Для этого необходимо:

1) Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой, то надо заметить, что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.

Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно, т.е. когда каждый шаг действительно приводит к построению искомых фигур.

2) Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния от центра до прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.

3) Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения денных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенств или равенств).

4) Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.

В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удастся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

2. Основные методы решения задач на построение

2.1 Метод параллельного переноса

Часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и поэтому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-либо часть искомой фигуры переносят или параллельно самой себе, или другим образом, но на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условия задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных.

Пример 1. Постройте трапецию по заданным сторонам.

Решение. Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d (рис. 8). Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD . Треугольник АВD можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Затем продолжим отрезок АD

на D D = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD

= CD = d.

Исследование. Треугольник ABD

можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если неравенство c – d < b – a < c + d не выполняется, то задача при выбранных данных не имеет решения.

Пример 2. Построить четырёхугольник, зная его углы и противоположные