5) воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.
Требования к уровню освоения содержания курса. В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:
· имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;
· умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
· умеют самостоятельно работать с математической литературой;
· знают основные правила комбинаторики;
· знают основные понятия теории вероятности и статистики;
· умеют решать задачи по теории вероятности и статистики, применяя формулы комбинаторики;
· умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;
· умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.
Содержание и требования курса
Тема 1. Комбинаторика.
Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.
Учащиеся должны знать: что такое факториал числа, его основные свойства; как записываются формулы комбинаторики, и понимать их.
Учащиеся должны уметь: рационально решать комбинаторные задачи, применяя формулы.
Тема 2. Вероятность.
Основные понятия теории вероятности. Операции над событиями. Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычисления вероятностей. Формула полной вероятности, Бейеса.
Учащиеся должны знать: что такое событие, зависимые (независимые) события, совместные (не совместные) события; определения суммы, произведения событий и противоположного события; в чем отличия между статистическим и классическим подходом к определению вероятности событий; определение условной вероятности, как вычислять произведение (сложение) независимых или зависимых (совместных или несовместных) событий; запись формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
Учащиеся должны уметь: рационально решать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычисления вероятностей.
Тема 3. Случайные величины.
Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.
Учащиеся должны знать: что такое случайная величина; определения дискретной и непрерывной случайной величины, уметь различать их; что такое закон распределения случайной величины; определения математического ожидания и дисперсии, понимать их практический смысл.
Учащиеся должны уметь: вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.
Тема 4. Статистика.
Общие сведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.
Учащиеся должны знать: основные определения статистики; как вычислять дисперсию и математическое ожидание для генеральной совокупности и выборки; определение статистической гипотезы и основы корреляционного анализа.
Учащиеся должны уметь: изображать вариационные ряды; находить эмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии.
Календарно-тематический план курса
| № | Тема | тип |
| 1 | Случайные события, операции над событиями, вероятность событий. | Лекция |
| 2 | Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике | Практика |
| 3 | Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике. | Практика |
| 4 | Решение задач, использующие классическое определение вероятности | Практика |
| 5 | Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса. | Лекция |
| 6 | Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события. | Практика |
| 7 | Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события. | Практика |
| 8 | Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса. | Практика |
| 9 | Случайные величины, дискретные и непрерывные случайные величины. | Лекция |
| 10 | Закон распределения случайной величины, построение полигона частот | Практика |
| 11 | Математическое ожидание и дисперсия | Лекция |
| 12 | Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин | практика |
| 13 | Статистика. Общие сведения | Лекция |
| 14 | Вариационные ряды и их графическое изображение | Лекция |
| 15 | Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез. | Лекция |
| 16 | Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез. | Лекция |
| 17 | Корреляционный анализ. | Лекция |
| 18 | Корреляционный анализ. | Лекция |
| 19 | Корреляционный анализ. | Практика |
| 20 | Корреляционный анализ. | Практика |
| 21 | Подготовка к контрольной работе | Практика |
| 22 | Подготовка к контрольной работе | Практика |
| 23 | Контрольная работа | Практика |
| 24 | Контрольная работа | Практика |
Занятие 1
В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря о случайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятности явления.
Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.
Пример: бросаем кубик – это испытание. Бросаем два кубика – другое испытание.
Результатом испытания является событие.
Событие бывает:
· достоверное (всегда происходит в результате испытания);
· невозможное (никогда не происходит);
· случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например:
1) выпадет восемь очков (невозможное);
2) выпадет не более 6 очков (достоверное);
3) выпадет число три (случайное).
Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.
Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.
Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – событие. Другой пример события – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.
В теории вероятности события обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, D…
Определение: События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.
События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания.
Пример: испытание – один раз подбрасываем монету. События: а) выпадет орел; б) выпадет решка.
События А и В не совместны так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.
Определение: Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Пример: Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p(AC) = 1/4 = p(A)p(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.
Операции над событиями
1.Сумма
Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.
Пример: Бросается кубик событие А – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа