Но если мы говорим о воспитании логического мышления и точности выражения мысли как одной из важных задач обучения математике, то эти качества должны вырабатываться как следствие освоения содержательно богатого материала, а не с помощью дидактической игры в определения. В математике, используемой для нужд гуманитарных наук, имеющих, образно говоря, "континуум смыслов", заметен отход от классического идеала — непрерывного описания событий. Как говорил австрийский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии Эрвин Шредингер, "сколь бы болезненной ни была утрата, мы, видимо, потеряем то, что стоит потерять". Даже в квантовой механике наблюдения рассматриваются как дискретные, несвязные события. Между ними могут существовать пробелы, которые мы не можем заполнить. Не случайно философско-математическое понятие о бесконечности стало предельным пунктом логики, где она соприкасается с неподвластной ее законам областью.
Расставание с "естественной простотой" окружающего мира, например с евклидовой геометрией, происходит не только в математике, но и в мышлении, миропонимании и в рациональном видении мира. "Цель и суть математики заключены в свободе, которую она дает нам. Математика сочетает абсолютную доступность, демократичность и открытость с непререкаемым запретом на любую субъективность, предвзятость и бездоказательность" [6, с. 63]. Основываясь только на интуиции, верить математическим утверждениям, относящимся к фундаментальным понятиям, очень опасно. В то же время, хотя математическая логика позволяет следить за доказательством и проверять его, она, к сожалению, не дает способа открывать и изобретать его. Хорошая интуиция удачно направляет воображение математика, хотя "интуитивное осмысление" неизбежно проходит через формальное и поверхностное понимание, постепенно погружаясь в более глубокое знание.
Различие между логическим и интуитивным способами познания сравнивают даже с различием между алфавитной и иероглифической системами письменности — первая "атомизирует" процесс письма, а вторая передает мысль "синтетически". Нельзя не упомянуть и о том, что логический парадокс Рассела подорвал доверие математиков к их коллективной интуиции, хотя она по-прежнему сохраняет свою значимую роль на эвристической стадии исследования. Банально говорить, что интуиция математического объекта постепенно развивается и зависит от степени знакомства с этим объектом и хорошего знания темы исследования. Развитие интуиции связано с творческой сущностью процесса поиска математической истины, тогда как логика лишь обеспечивает уверенность, что результат, использующий не слишком строгие логические соображения, в действительности с помощью доказательства, опирающегося на соответствующую систему аксиом, а также проводимого средствами математической логики, представляет собой математическую истину.
Безусловно, математическая интуиция — один из наиболее важных источников развития математического знания. Даже профессор математики может оказаться не понятым студентами, если он захочет поделиться своими подводящими к теме "интуитивными" соображениями. Чаще всего "интуитивное" осмысление математической теории проходит через период формального понимания, которое постепенно заменяется более глубоким. Но так как логика, по существу, это особый вид искусственного языка, она не может конкурировать с математической интуицией, т.е. не может быть исключительно надежным инструментом для открытия математических истин. Речь идет о том, что нельзя говорить, что строгая дедукция теоретической математики вытекает исключительно из логики. Нельзя не признать, что интуиция тоже отчасти управляет логикой, точнее, математическая интуиция натуральных чисел помогает увидеть скрытые аналогии и воспользоваться аксиомой математической индукции.
Поэтому не случайно известный французский математик Жан Дьедонне в статье «Надо ли учить "современной" математике?» специально указал, что «главная цель обучения математике на любом уровне состоит в том, чтобы выработать у студента надежную "интуицию" относительно встречаемых им математических объектов» [7, с. 19]. Главным критерием научного вкуса для создателей современной математики неизменно являлось чувство важности проблемы и элегантность ее решения. Мы не пытаемся внушить школьникам и студентам робость перед грандиозностью системы абстрактных понятий математики, а стараемся показать их естественную и внутреннюю простоту. Как написала одна выпускница мехмата, "прошло время, и твоих познаний стало гораздо больше, а на месте пустыни образовался цветущий сад с созревшими плодами".
Математика полезна гуманитарной практике не только своими моделями явлений, но и строгой логикой рассуждений и умением замечать в них "прорехи". Она полезна не только для тех, кто не боится абстракции и любит математику, но даже и для тех, кто все еще боится математики и считает, что не любит абстракций. Математика — это не пугающее непосвященных жонглирование числами, а, как сказал Давид Гильберт, "это сад, в котором каждый может собрать букет по вкусу". Именно он лучше других предвидел будущее развитие математики XX в., точнее, чем любой политик, смог предсказать катаклизмы этого века.
Воспитательная роль математики состоит в том, что ее изучение вырабатывает исследовательский и творческий подход к любой работе, основанный на логичности и строгости суждений, а также умении выделять главное и ставить новые нерешенные задачи. Разумеется, речь не может идти о массовом и полноценном для всех математическом образовании, но людей, например, с университетским гуманитарным образованием, сознательно стремящихся к, возможно, "актуально бесполезному пониманию", никогда много не будет, но именно они способны достойно ответить на "интеллектуальный научный вызов цивилизации", прокладывая пути к идее общего блага.
Сколько-нибудь заметный воспитательный эффект от изучения курса математики, по мнению профессора АЛ.Хинчина, возможен при условиях, что преподаватель математики достаточно хорошо знает свой предмет и методологию своей науки и обладает необходимым педагогическим тактом. И наконец, что, и по нашему мнению, является необходимым и самым важным в воспитательном процессе, — сам преподаватель должен в достаточной мере обладать всеми теми качествами, которые он собирается воспитывать в своих учениках.
Список литературы
1. Якоби К.Г. 0 жизни Декарта и его методе направлять ум правильно и изыскивать в науках истину // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. № 12.
2. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Математика в образовании и воспитании. М., 2000.
3. Бугаев Н.В. Математика и научно-философское мировоззрение // Философская и социологическая мысль. 1989. № 5.
4. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.
5. Покровский Н.Е. Что происходит с гуманитарным образованием? // Социологические исследования. 2006. № 12.
6. Кутателадзе С.С. Апология Евклида // Владикавказский математический журнал. 2006. Т. 8. Вып. 2.
7. Дъедонне Ж.А. Надо ли учить "современной" математике? // Математика в школе. 2003. № 3.