Задачи в школьном курсе математики (стр. 11 из 11)
Последние три упражнения качественно отличаются от исходного. Если при выполнении однотипных упражнений ученик быстро перестает проводить обосновывающие рассуждения, сокращает звенья рассуждений, то при выполнении обратных - наоборот. Выполнение обратных упражнений предполагает осуществление проверки каждой операции, постоянного контроля, а значит, способствует развитию самоконтроля.
Следовательно, одновременное изучение взаимообратных действий и выполнение соответствующих упражнений целесообразно.
Исходя из этой точки зрения, формулу разности квадратов двух выражений следует изучать совместно с умножением разности двух выражений на их сумму, а не друг за другом, как это имеет место в школьной практике. Можно одновременно рассматривать нахождение дроби от числа и числа по его дроби, прямую и обратную пропорциональность и многое другое. В этом, проявляет себя принцип укрупнения дидактических единиц П. М. Эрдниева, принятый на вооружение многими учителями.
При выполнении системы упражнений важно соблюдение педагогического принципа сознательности.
Рассмотрим некоторые наиболее важные психологические аспекты выполнения упражнений, влияющие на сознательность усвоения изучаемого материала.
В теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф: Талызиной, доказывается необходимость выполнения действий на первичное закрепление определений, правил, теорем развернуто, т. е. без пропусков отдельных операций в материализованной и громкоречевой формах, которые должны предшествовать действиям в уме.
Чтобы помочь учащемуся сознательно усвоить материал, чтобы научить ученика, особенно не очень способного к математической деятельности, учителю необходимо представить себе то умственное действие, которому он хочет научить ученика в полном объеме, без пропусков каких-либо операций, т. к. пропуски отрицательно сказываются на сознательном восприятии умственных действий. Противоположностью полноты является свернутость действия, пропуск какой-либо умственной операции. Все выделенные операции при закреплении действия необходимо выполнять во внешнем плане, т. е. делая записи и в громкоречевой форме - комментируя записи. В качестве примера рассмотрим полную запись решения примера на вычитание смешанных чисел:
Некоторое время ученики выполняют развернутое действие, проговаривая все операции в обобщенном виде, например: «Представим каждое из смешанных чисел в виде суммы целой и дробной частей, найдем наименьший общий знаменатель дробей, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю, сравним числители получившихся дробей и т. д.» Такая форма позволяет осознать все операции действия, выполнять их с пониманием.
При выполнении различных умственных действий полезно не только выделять отдельные шаги - операции действия, но и материализовать действие, т. е. составлять некоторую видимую схему действия. В качестве примера материализации умственного действия рассмотрим процесс решения задач на дроби (нахождения дроби от числа, числа по дроби, отношения двух чисел).
При решении задач этих типов ученик должен уметь распознать задачу, выяснить является ли она задачей на нахождение дроби от числа, числа по его дроби или на нахождения дроби-части, которую одно число составляет от другого, а затем выполнить соответствующие преобразования - операции.
Для решения этих задач может оказаться полезной материализованная основа действия, состоящая из трех составляющих:
| Все число (именованные единицы) | Значение дроби (именованные единицы) | Дробь (отвлеченное число) |
Тогда на одних и тех же числовых значениях можно рассмотреть зависимости между отдельными составляющими структуры, т. е. найти каждый из компонент действия, если известно два других. Получаем в общем виде зависимость: I=II:III; II=I·III; III=
.При необходимости решить конкретную задачу, например, найти
от числа 60 кг, вначале выясняется, какие элементы структуры задачи нам известны: что такое 60 кг и что такое 
.Получается запись:
| I. Все число (и.е.) | П. Значение дроби (и.е.) | III. Дробь |
| 60 кг | ? |  |
Далее можно воспользоваться полученной ранее зависимостью: II = I·III. При выполнении упражнений в указанном разделе необходимо рассмотреть особые случаи, когда все число или значение дроби представлены правильной дробью и когда число в третьей графе превышает единицу.
Постепенно, с увеличением опыта, необходимость в материализованной опоре у учащихся отпадает, действие производится в громкоречевой форме, а затем и в форме внутренней речи, с ориентацией на ранее приведенную схему, но которой теперь перед глазами нет.
Согласно учению о поэтапном формировании умственных действий, контроль за их выполнением должен осуществляться со стороны учителя на этапах материализации и громкой речи до появления самоконтроля. Понятно, что в условиях классно-урочной системы пооперационный контроль со стороны учителя за действиями каждого ученика осуществить невозможно. Но возможна показательная корректировка отдельных ответов учащихся.
Использование идей теории поэтапного формирования умственных действий в школе дает ощутимые результаты, но в то же время эта теория требует специальных усилий по ее перенесению в условия работы со всем классом.
Представляется, что компактный метод использования формулировок правил, определений и теорем является одной из возможных модификаций использования теории поэтапного формирования умственных действий. Из опыта работы учителей выделены два метода применения определений, теорем, правил.
Первый из них - раздельный, когда учащиеся несколько раз повторяют изученную формулировку и лишь затем отрабатывают ее в упражнениях. Этот метод сравнительно часто используется в школе, т. к. он прост в организационном отношении. Он оправдан, если изучаемые формулировки достаточно просты, такие как, например, правило умножения обыкновенных дробей или определение медианы треугольника.
Если же формулировка не совсем простая, учащиеся не успевают ее осознать и запомнить и выполняют упражнения без опоры на теорию. Если изучаемая формулировка достаточно сложная, то ее запоминание облегчается, если оно проходит одновременно с формированием умения по применению этой формулировки. Эта закономерность, заключающаяся в том, что понимание материала является важнейшим условием его запоминания, и используется в другом методе, названным компактным.
Суть компактного метода заключается в том, что запоминание и умение использовать формулировку осуществляются одновременно. При этом необходимо учесть еще одну закономерность усвоения, что понимание затрудняется, если установка на полноту и точность запоминания появляется до того, как материал понят в целом. Например, бесполезно требовать от учащихся формулировок правила сложения двух дробей с разными знаменателями или теоремы о вписанном угле, если они не отработаны при выполнении соответствующих упражнений.
При этом предлагается следующая последовательность действий. Вначале учитель разбивает изучаемую формулировку на составные части. В определении выделяются существенные свойства, в теореме - отдельные части условия и заключения, а в правиле - отдельные шаги действия. Затем учитель показывает образец действия - читает формулировку по частям и одновременно выполняет упражнение. При этом непроизвольное запоминание, которое имеет место в условиях активных форм работы, оказывается более прочным, чем произвольное, опирающееся на пассивные формы работы.
ПРИМЕР. Допустим, учащиеся вместе с учителем вывели формулу квадрата суммы двух выражений. Полученная формулировка, представленная в учебном пособии, разбивается на составные части. Моментом материализации умственного действия при этом является проведение вертикальных черточек в тексте правила, осуществляющих разбиение: «Квадрат суммы двух выражений // равен квадрату первого выражения, // плюс удвоенное произведение первого и второго выражений //, плюс квадрат второго выражения».
Далее следует образец выполнения упражнения: учитель читает формулировку по частям и после прочтения каждой части выполняет соответствующую операцию. Например, выполняется упражнение (а + 2в)2. Учитель читает первую часть правила: «Квадрат суммы двух выражений», указывает на соответствующие обозначения квадрата и суммы и отмечает, что в данном случае имеет место полученная формула и что первое выражение -это а, а второе - 2в. Затем учитель читает дальше: «Равен квадрату первого выражения» и записывает промежуточный результат и т. д.
После этого ученик у доски выполняет другое упражнение аналогичным образом. Как можно видеть, такая работа позволяет одновременно запоминать формулировку и учиться ее применять. Компактный метод ориентирует учащихся при комментировании выполнения упражнений не на буквальное проговаривание записи, а на произнесение соответствующих формулировок по частям и реализацию каждой части формулировки в конкретном случае.
Итак, нами рассмотрен ряд требований, которые целесообразно предъявить к системе упражнений, исходя из общих педагогических принципов обучения. Эти требования не исчерпывают всего многообразия проблем, связанных с упражнениями, но позволяют планомерно и целенаправленно подходить к отбору и построению системы упражнений.