Отвечая на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?", полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.
Составление плана решения задачи (2-й этап). Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, "открыть" идею ее решения:
1). Известна ли решающему какая-либо родственная задача? Аналогичная задача? Если такая или родственная задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Но далеко не всегда известна задача, родственная решаемой. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет.
2). Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.
3). Стоит воспользоваться советом: "Попытайтесь сформулировать задачу иначе". Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.
При переформулировании задачи пользуются либо определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями). Надо отметить, что способность учащегося переформулировать текст задачи является показателем понимания математического содержания задачи.
Некоторые авторы относят к переформулировке задачи и перевод ее на язык математики, т. е. язык алгебры, геометрии или анализа. Это, скорее, формализация задачи, "математизация" ее. К такому приему и приходится часто прибегать при решении многих текстовых задач.
4). Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.
5). При составлении плана решения задачи иногда бывает полезно следовать совету: "Попытайтесь преобразовать искомые или данные". Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные - так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений.
6). Нередко случается так, что, следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения. Тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи", т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи.
7). Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Предполагаемый вариант рассуждений - явное применение полной индукции. Итак, совет: "Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения".
Осуществление плана решения задачи (3-й этап).
План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:
1). Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.
2). Обратить внимание учащихся на необходимость выбора такого способа оформления решения, чтобы зафиксировать решение в краткой и ясной форме.
Изучение найденного решения задачи (4-й этап).
Заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи. Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.
Таким образом, после оформления решения необходимо выявление идей (главной мысли), положенных в основу решения. Решение задачи несколькими способами является одним из путей проверки правильности полученного результата; важно сопоставление найденных решений, выделение более рациональных и поучительных. Это путь воспитания гибкости математического мышления и находчивости.
Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер.
Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверка результата может производиться различными способами. Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата. Значит, надо выполнить совет: "Проверьте все узловые пункты решения", еще раз убедитесь в истинности проведенных рассуждений.
Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" Иными словами, стоит последовать совету: "Решите задачу другим способом". Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.
Изложенные выше советы для решения задач позволяют решать многие задачи, но, разумеется, не могут служить рецептом для решения любой задачи. Эти советы, многие из которых сформулировал Д. Пойа, правильно ориентируют решающего задачи на поиск решения, сокращают время решения многих задач, повышают вероятность отыскания верного и рационального способа решения задач. Единого же рецепта для решения любых задач попросту не существует.
От общих советов к частным. Начинать надо с общих вопросов, с общих советов, т. е. именно с тех, которые были приведены выше. Может оказаться, что общие вопросы не окажут помощи какому-то ученику. Тогда надо обратиться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. Переходить к частным, конкретным вопросам надо постепенно, чтобы на долю ученика досталась наибольшая часть работы по решению задачи. Задавая более частные, дополнительные вопросы, нужно учитывать следующее: вопросы должны быть такими, чтобы они направляли мысль ученика в нужную сторону, заставляя его активно мыслить над решением задачи. Разумеется, предлагая вопросы ученикам, надо предоставить время на обдумывание ответов на эти вопросы.
Умение самостоятельно решать задачи - важное умение не только для тех, кто будет в дальнейшей жизни заниматься математикой, но и для всех учащихся. Человеку в повседневной жизни приходится постоянно решать задачи и даже ставить их, правда, они несколько отличаются от школьных задач, иногда своей неопределенностью, иногда неразрешимостью. Умение организовать поиск - черта активной, самостоятельной личности. Умение самостоятельно решать задачи является показателем высокого интеллектуального развития. К сожалению, в школьной практике довольно часто можно наблюдать отсутствие этого умения. Из каких составляющих, из каких отдельных умений складывается общее умение решать задачи?
Это:
• умение проводить анализ условия задачи;
• умение применять изученную теорию (определение, теорему, правило) на практике; это умение предполагает узнавание возможности применения теории и собственно применение, поэтому теорема, определение, правило принимают в сознании вид алгоритма или предписания, по которому совершается действие;
• умение выделять основную идею в решении отдельной задачи, находить общее в решении нескольких задач и переносить эту идею, это общее на новую задачу;
• умения по самооценке своей деятельности, самоконтролю.
Как можно формировать умение анализировать условие задачи? Чтобы научиться анализировать условие задачи, анализ задачи должен стать целью обучения, что требует выполнения специальных заданий не по решению задач, а только по анализу их условия. По меньшей мере, этап анализа условия задачи должен быть специально выделен в процессе решения, и учащиеся должны иметь ориентировочную основу проведения этапа анализа. Анализу условия задачи следует обучать во всех разделах школьного курса математики: в арифметике, алгебре, геометрии. Как уже было отмечено, анализ условия задачи состоит в выделении данных и искомых, в выяснении значения каждого слова, в выяснении структуры задачи: какая и сколько ситуаций, объектов рассматриваются, какие величины входят в рассмотрение, каково соотношение между величинами в данной задаче, какая информация имеется в условии задачи в скрытом виде.