Использование обобщений при обучении математике в средней школе (стр. 3 из 4)

Составление картинок из 7 кусочков дерева, известных под названием ТАНОВ - одно из самых древних развлечений на Востоке. Таны имеют простейшую форму, но позволяют составлять бесконечно много разнообразнейших фигурок - танграмов. Составление таких фигурок предъявляет весьма высокие требования к геометрической интуиции, развивает образное мышление, художественные способности играющего.

Что такое таны? Несколько тысяч лет тому назад китайский ученый очень остроумно разрезал квадрат на 7 частей.

Игра в танграм распадается на три основные категории:

1. Поиск одного или нескольких способов построения данной фигурки или изящного доказательства невозможности построения фигурки;

2. Нахождения способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором (или тем и другим вместе) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы;

3. Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов.

Чем полезна эта игра, что она дает учащимся? Во-первых, ученики воочию убеждаются, что подобие и равенство фигур - это не одно и тоже, знакомятся со всеми свойствами фигур. Во-вторых, развивается образное мышление и полет фантазии.

Еще о чем полезном можно и нужном на уроках математики говорить? О чем угодно, обо всем, что используем на уроке: циркуль, линейка, ластик, тетрадь.

Циркуль.

Возьмите в руки циркуль и внимательно его рассмотрите. Какой это красивый и необычный инструмент. Он очень похож на маленького длинноногого человечка. Этот волшебник умеет изображать окружность.

“Сговорились две ноги делать дуги и круги" - это загадка про циркуль, который нужен сегодня ученым, инженерам, учителям, студентам и школьникам. Оказывается, циркуль - древний инструмент. Название свое он получил от латинского слова циркулюс, что значит круг, окружность. Древнейшие циркули находят среди развалин старейших городов. Например, циркули с железными ножками были обнаружены среди пепла, что засыпал 1800 лет назад древнеримский город Помпею. О том, что человек пользуется циркулем очень давно, свидетельствуют рисунки с изображением ровных, правильных окружностей на храмах, куполах домов, посуде.

В настоящее время существует множество различных циркулей. Самый простой наш помощник - одноногий циркуль, который имеет смешное название козья ножка.

Циркуль - измеритель очень похож на обычный, только обе его ноги имеют иголочки. Такой циркуль нужен для проведения точных измерений. Есть циркули большие, например штангенциркуль, который помогает инженерам проводить огромные окружности.

Линейка.

Было время, когда длину измеряли веревочкой, величиной ступни (фут, пядь), длиной пальцев (дюйм), величиной локтя (ярд), саженью (расстояние от подошвы левой ноги до кончиков пальцев поднятой вверх правой руки, наискосок). Все измерения при этом, конечно, были приблизительными. С 1791 года люди многих стран условились считать метром одну десятимиллионную часть от четверти длины того меридиана, который проходит через город Париж. Само слово метр произошло от греческого мера - точная мера длины. Тогда же был выполнен образец метра - узкая тонкая линейка из драгоценного металла, который называется платиной.

У обычной линейки много родственников. Ее брат угольник состоит из целой семейки линеек - папы, мамы и ребенка, соединенных в виде треугольника.

Большая линейка в виде буквы “Т” называется рейсшиной. Маленькой частью она упирается в край чертежной доски, а длинной ножкой - линейкой двигается по листу бумаги. Такая линейка незаменимая помощница любого конструктора и чертежника. Линии, которые выполняют с ее помощью, будут параллельны друг другу.

Для измерения в столярных работах используется складной метр - метровая линейка, которую складывают для удобства и хранения. Для этих же целей служит рулетка - линейка из тонкого металла, свернутого рулоном, который спрятан в специальной коробочке.

Ластик.

Без этого приспособления не обойдется никто. От начинающего впервые рисовать малыша до профессионала - все пользуется резинкой для стирания. Не забывайте и вы аккуратно удалять неточности на рисунках и чертежах. Да, смотрите, не перестарайтесь! Ведь если вы будете пользоваться ластиком с силой, то на бумажном листе может образоваться самая обыкновенная дырка. После этого говорить о красоте вашей будущей работы уже не стоит, она испорчена! Вот такой непростой этот маленький инструмент для стирания!

Способность человека быть творцом воспитывается прежде всего в школе. Уже простое самостоятельное решение задач по математике - работа творческая, но это лишь начальная ступень развития творческих сил и способностей человека, начальная стадия эстетической зрелости. Дальнейшие шаги по этому пути - умение самому поставить вопрос, самому сконструировать задачу. А что такое творческие способности и эстетический подход? Четкого ответа на этот вопрос психология не дает. Практика показывает: если школьник проявляет большой интерес к математике, если он с успехом, а часто и с удовольствием решает трудные математические задачи, то с большей уверенностью можно предположить, что у этого школьника имеются не только математические способности, но и ясность в мышлении, порядок в логике.

III. Эстетический потенциал математики как науки

Эстетический потенциал математики в практике обучения часто недооценивают. Однако на протяжении веков пути математики и различных видов искусства переплетались.

Поэтому исторические сведения предоставляют благодатный материал для развития эстетического вкуса школьников. Зачастую в кругу цифр и математических знаков мы не замечаем всей красоты и логичности доказательств этой науки. Красоту науки когда-то заметил Н.Е. Жуковский. Он писал: "В математике есть своя красота, как в живописи и в поэзии".

Многие ученые, занимавшиеся исследованиями в области математики, были не только математиками, но физиками и химиками, как Ньютон, Паскаль и Эйлер, и даже поэтами. Философом и поэтом является известный математик Омар Хайям.

Вот одно из его четверостиший:

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.

Два важных правила запомни для начала:

Ты лучше голодай, чем что попало ешь,

И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

Другой пример - математик Чарльз Л. Доджсон, известный больше под псевдонимом Льюис Кэрролл как автор сказки "Алиса в стране чудес".

Как рассказывают биографы, королева Виктория пришла в восторг от этой книги и захотела прочитать все книги, написанные Кэрроллом.

Можно представить ее разочарование, когда она увидела на своем столе стопку книг по математике. И даже известная нам математик-женщина Софья Васильевна Ковалевская обладала незаурядным литературным талантом. Ее перу принадлежат такие произведения: драма "Борьба за счастье", роман "Нигилистка" и другие.

Решать уравнение вида: х-ау=1, по-видимому, умел и Архимед, находим мы в книге Н.Я. Виленкина. Недаром Архимед послал в Александрию Эратосфену следующий стихотворный вызов:

Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец

(Ты их, подумав, сосчитай, мудрости если не чужд),

Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных

Их в четырех стадах много когда-то паслось.

Цветом стада различались: блистало много млечно-белым,

Темной морской волны стада другого был цвет.

Рыжим третье было, последнее пестрым. И в каждом

Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,

Все же храня соразмерность такую: представь чужестранец,

Белых быков в точности было ровно…

То, что древние математики были прекрасными поэтами, можно видеть из приведенных примеров. Эти произведения помогут показать ученикам красоту не только самой математики, но и поэзии, прозы и других древних сочинений. При этом исторические сведения помогут сосредоточить и сконцентрировать внимание учащихся на изучении программного материала, помогут надолго сохранить в памяти те факты, которые были красиво описаны с помощью литературы.

В стихах, приведенных выше, также встречаются географические названия: Александрия, Тринакрийская Сицилия и другие. При сообщении учащимся исторических сведений, если учитель приведет карты древние и современные, то ученики наиболее полно представят себе картину времени, когда произошло математическое открытие. При рассмотрении карт ученики могут найти древние города, например, город Александрию, и затем ответить на вопросы: каким морем омывается город? (Средиземным); с какой рекой связаны истории этого города?; к какой стране принадлежит Александрия? (Египет); назвать главную реку Египта и ее природные особенности? (Нил); перечислить известных людей, проживавших в Александрии? (Евклид, Эратосфен, Апполоний, Герон, Гиппарх, Птолемей, Диофант). Такая работа позволяет развивать воображение, мышление учащихся и тем более поможет лучше разобраться в географических местах и надолго отложиться в памяти детей, так как эти знания были добыты путем сопоставления карт. Приведенный в примерах Диофант занимался изучением методов решения уравнений. Уравнения, решаемые в целых числах так и назвали Диофантовыми уравнениями. А также с его именем связаны понятия Ал-джебра и Ал-мукабала.

Ал-джебра

При решении уравненья,

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим,

И найдем результат нам желательный.

Ал-мукалаба

Дальше смотрим в уравненье,

Можно ль сделать приведенье,

Если члены в нем подобны,

Сопоставить их удобно,

Вычтя равный член из них,

К одному приводим их.

После изучения подобных стихов можно выводить современные методы решения линейных уравнений: перенос слагаемых их одной части уравнения в другую, деление и умножение обеих частей уравнения на одно и то же число.