Узагальнюючи результати всіх цих досліджень, можна сказати, що, за їх даними, хлопчики перевершують дівчаток в здібності до логічного міркування, а дівчатка − хлопчиків в точності, строгості, акуратності, свого роду «педантичності» мислення. Залишається, звичайно, відкритим питання, наскільки ці дані достовірні і наскільки ці особливості є «природними» − на це указують і самі дослідники.
Вчені стверджують,що їх дослідження, й дослідження Й.В. Дубровіної і С.І. Шапіро не виявили яких-небудь якісних, специфічних особливостей в математичному мисленні хлопчиків; і дівчаток.
Зрозуміло, фактично хлопчики частіше виявляють математичні (так само як і технічні) здібності. У молодших класах це майже непомітно, в старших стає вельми відчутним. Переможцями в математичних олімпіадах частіше бувають хлопчики, чим дівчатка, більше їх вчиться і в спеціальних математичних школах і класах.
Але це фактична відмінність, як нам здається, треба віднести за рахунок різниці в традиціях, у вихованні хлопчиків і дівчаток, за рахунок поширеного погляду на чоловічі і жіночі професії. Це приводить до того, що математика часто виявляється поза спрямованістю інтересів дівчаток. Принаймні сьогодні ми не маємо в своєму розпорядженні ніяких даних, які зобов'язали б нас зробити інший висновок.
2.4 Розвиток творчих здібностей учнів та дослідження
Коли йдеться про зміст шкільного курсу математики, то, звичайно, мають на увазі засвоєння учнями певної системи математичних знань, умінь і навичок. Але не можна зводити все математичне навчання в шкоді до передачі учням визначеної суми знань і навичок. Це обмежувало б роль математики в загальній освіті. Тому перед школою стоїть важливе завдання математичного розвитку учнів.
Математичні здібності — це здатність утворювати на математичному матеріалі узагальнені, згорнуті, гнучкі й обернені асоціації та їх системи. До складових математичних здібностей слід віднести:
а) здатність до формалізації математичного матеріалу, відокремлення форми від змісту, абстрагування від реальних ситуацій і їх кількісних відношень та просторових форм; оперування структурами відношень і зв'язків;
б) здатність до узагальнення матеріалу;
в) здатність до оперування числовою і знаковою символікою;
г) здатність до логічних міркувань, пов'язаних з потребою доводити, робити висновки; здатність до скорочення процесу міркувань;
д) здатність до переходу від прямого до оберненого ходу думки;
е) гнучкість мислення незалежно від впливу шаблонів.
Математика сприяє виробленню особливого виду пам'яті − пам'яті, спрямованої на узагальнення, творення логічних схем, формалізованих структур, виховує здатність до просторових уявлень. Наявність математичних здібностей в одних учнів і недостатня розвинутість їх в інших вимагає від учителя постійного пошуку, шляхів формування і розвитку таких здібностей у школярів. Рівневі диференціації з урахуванням психології математичних здібностей учнів збільшує можливості роботи вчителя. Такий підхід створює умови для розвитку здібностей учнів, які мають природжені задатки до занять математикою, і забезпечує посильною роботою учнів, які не мають таких задатків. Виконуючи посильні завдання, учень отримує впевненість у своїх силах.
Усі задачі поділяються на три типи:
а) задачі, які розв'язую для кращого засвоєння теорії;
б) тренувальні вправи, мета яких − виробити навички;
в) задачі, за допомогою яких розвиваються математичні здібності учнів.
Розв'язування задач − це робота дещо незвичайна, адже вона є розумовою. А щоб навчитися будь-якій роботі, треба спочатку добре вивчити той матеріал, над яким доведеться працювати, ті інструменти, з допомогою яких буде виконуватись робота.
Отож, для того щоб навчити учнів розв'язувати задачі, потрібно розібратись в тому, що вони собою являють, як побудовані, з яких частин складаються, що потрібно знати, щоб розв'язати ту чи іншу задачу. Учні п'ятого класу вже знають, що під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, пов'язане з числовими величинами або геометричними фігурами. Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числове значення інших величин і залежність, яка зв'язує їх як між собою, так і з шуканою величиною. У початкових класах в основному розглядаються так звані сюжетні задачі, в яких описується кількісна сторона деяких явищ.
Сюжетну задачу, для розв'язання якої треба виконати дві чи більше пов'язаних між собою арифметичних дій, називають складеною. Щоб розв'язати складену задачу, пропонують учням спочатку скласти план розв'язування. План складається на основі аналізу задачі, який проводять від числових даних або від запитання. Аналізу задачі передує ґрунтовне вивчення умови і запитання задачі.
Наприклад, задача. Велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. Йому залишилося проїхати на 16 км менше, ніж він проїхав. Яку відстань потрібно було проїхати велосипедисту?
Аналіз від числових даних. Відомо, що велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. За цими даними можна дізнатися, яку відстань проїхав велосипедист. Для цього треба швидкість помножити на час. Знаючи відстань, яку вже проїхав велосипедист, і те, що залишилося проїхати на 16 км менше, можна знайти відстань, яку залишилося проїхати. Для цього відстань, яку вже проїхав велосипедист, треба зменшити на 16 км. Знаючи, скільки кілометрів залишилося їхати, можна знайти весь шлях. Для цього треба виконати додавання знайдених відстаней.
Аналіз від запитання. У задачі треба знайти весь шлях, який має проїхати велосипедист. Ми не можемо одразу відповісти на це запитання, бо не відомо, скільки велосипедист вже проїхав і скільки йому залишилося їхати. Щоб знайти пройдений шлях, треба знати швидкість і час руху. Це в задачі відомо. Помножимо швидкість на час і дізнаємося про пройдений шлях. Відстань, яку велосипедист ще має проїхати, можна також знайти. Для цього знайдену відстань треба зменшити на 16 км. Отже, план розв'язування задачі такий:
Скільки кілометрів проїхав велосипедист за 4 години?
Скільки кілометрів велосипедисту залишилося проїхати?
Яку відстань мав проїхати велосипедист?
Отже, підвищення ефективності навчання математики можна досягти, продуктивно реалізуючи всі дидактичні функції математичних задач. Велику роль відіграють задачі, які учні складають самі. Складання задачі часто вимагає роздумів, які під час розв'язку готових задач не потрібні. Тому складання задач сприяє розвитку творчого мислення учнів. Щоб вивчення математики викликало в учня задоволення, треба, щоб він заглибився у суть ідеї цієї науки, відчув внутрішній зв'язок усіх ланок міркувань, які дають можливість зрозуміти і саме доведення, і його логіку. Якщо учень хоча б раз досяг ясності в розумінні суті, проник у внутрішній зв'язок понять і логічних висновків, то йому буде важко задовільнитися потім заучуванням без. розуміння. І тоді він здійснятиме відкриття: процес власної думки вимагає значно менших зусиль і витрат часу, ніж вивчення напам'ять. Щоб привчити учнів самостійно мислити, викликати в них віру у власні сили і розумна також виховати впевненість у своїх можливостях, необхідно примусити їх пройти через певні труднощі, а не подавати все в готовому вигляді.
У системі розвиваючого навчання під час вивчення математики важливе місце посідає обчислювальна практика. На 5-6 класи припадає основний обсяг роботи обчислень з раціональними числами. У наступних класах ці навички розвиваються і закріплюються, зростає питома вага наближених обчислень, використовується прикидка, оцінювання результатів обчислень. Широке використання мікрокалькуляторів не зменшує ролі обчислень без них і особливо усного виконання дій. Адже, користуючись мікрокалькуляторами, треба вміти робити прикидку очікуваного результату й округлювати його до потрібної точності, замінюючи деякі операції усним виконанням, уміти проаналізувати здобуту інформацію.
Слід мати на увазі і розвиваючу функцію усних обчислень: вони активізують увагу і пам'ять учнів, спонукають їх до раціональної діяльності. Якщо в учнів середніх класів добре сформовані ці навички, це є запорукою того, що в старших класах розв'язування задач не буде викликати особливих труднощів. Уміння розв'язувати ту чи іншу задачу залежить від багатьох чинників. Але передусім необхідно навчитися розрізняти основні типи задач і уміти розв'язувати найпростіші з них. Задачі, що розв'язуються у шкільному курсі математики, можна умовно розподілити на такі типи задач:
а) задачі «на рух»;
б)задачі «на сумісну роботу»;
в) задачі «на планування»;
г) задачі «на залежність між компонентами арифметичних дій»;
д) задачі «на відсотки»;
е) задачі «на суміші»;
є) задачі «на розбавлення»;
ж) задачі «з буквеними коефіцієнтами”;
з) інші види задач.
Природа математичних здібностей
Математичні здібності не вроджені, а набуті в житті властивості, причому формування цих властивостей виникає на основі певних задатків. Роль задатків різноманітна, в залежності від того, про які здібності йде мова, − ця роль мінімальна у випадках розвитку звичайних здібностей до математики, і винятково велика, коли мова йде про математичні здібності вчених-математиків.
Виділяють деякі факти, які особливий інтерес для . а саме: