Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса (стр. 3 из 12)
Таким образом, было рассмотрено два определения теории вероятностей: классическое и статистическое [6, 210].
Для решения задач по данной теме необходимо использовать основные правила и теоремы теории вероятности.
1.2 Правила и теоремы теории вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместимых событий
Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.
Испытание - стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.
Аналогично суммой конечного числа событий А1 , А2, ..., Аkназывают событие А = А1 + А2 + … + Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Ai (i = 1,..., k).
Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А1 , А2, ..., Аk называют событие А = А1 А2 … Аk, , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.
Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1)
Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1 , U2,... , Un не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=
, Р(В)= 
, Р(А+В)= 
откуда и следует утверждение теоремы.Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и
равна единице:Р(А)+Р(
)= 1Так как события А и
несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р( ) = Р (А + ). Событие А + есть достоверное событие (ибо одно из событий А или произойдет). Поэтому Р (А + ) =1.В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) =
, синий Р(В) = 
. Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теоремеР(А + В)= Р(А) + Р(В) =
+ = 0,8 [3, 25].Теорема умножения вероятностей
Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми [5, 19].
Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А - вынут белый шар. Очевидно, Р(А) =
. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар – такжеимеет вероятность Р(В) = , т.е. события А и В- независимые.Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытаниивынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В) =
,если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается Р(В) = 
.Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.
Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.
Итак, в примере 1 РА(В) =
.Заметим, что если события А и В независимы, то РА (В )= Р(В).
Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
P(AB)= Р(А)РА(В). (2)
Доказательство.
Пусть из всего числа nэлементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда Р(АВ)=
= . 
= Р(А)РА(В), что и доказывает искомое равенство (2).Замечание. Применив формулу (2) к событию ВА, получим
Р(ВА) = Р(В)РВ(А). (3)
Так как АВ = ВА, то, сравнивая (2) и (3), получаем, что
Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).
Пример 2. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй разы белые шары? По формуле (2) имеем
Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
| (4) |
Р(ВА) = Р(А)Р(В).
Действительно, если А и В - независимые события, то РА (В) = = Р(В) и формула (2) превращается в формулу (4).
Пример 3. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?
Пусть событие А - первый организм жив через 20 мин, событие В - второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 2 получаем Р(АВ) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 [7,115].
Теорема сложения вероятностей совместимых событий
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (5)
Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l - событию В и m - одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют к + 1 - m элементарных событий. Тогда
Р(А+В)=
= Р(А) + Р(В) - Р(АВ)Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (1) является частным случаем формулы (5).
Пример. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.
Введем обозначения для событий:
А1- первое растение здоровое;
А2 - второе растение здоровое;
А1+A2 - хотя бы одно растение здоровое.
Так как события А1 и А2 совместимые, то согласно формуле (5)
P(А1+ А2) = P(А1) + P(А2) = 0,95 + 0,95 - 0,95 · 0,95 = 0,9975 ≈ 1 [4, 28].
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может нacmупить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В1, В2, ... Вn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
(6)(формула полной вероятности).
Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий B1, В2, ..., Bn, т.е. А = B1 А + В2А + ... +, BnА причем ввиду несовместимости событий B1, В2 , ..., BnА события B1А, В2А, ..., BnА также несовместимы. По этому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем