Методика преподавания курса "Матричные игры" (стр. 1 из 5)
Методика преподавания курса «Матричные игры»
Пояснительная записка
При решении многих практических задач приходиться анализировать ситуации, где две или более стороны, преследующие различные цели, причем результат каждого зависит от того, какой выбор сделает другая сторона. Решением таких проблем занимается – Теория игр.
В связи с развитием экономики страны я полагаю, что этот раздел математики будет интересен студентам вузов, изучающих экономику.
Этот курс рассчитан для 2-4 курсов вузов с математическим или экономическим уклоном.
Главной целью данного курса является изучение основных понятий теории игр и первичное знакомство с матрицами, развитие математических способностей учеников, воспитание интереса к предмету, инициативность и творчества.
Для достижения этой цели были сформулированы следующие задачи:
- Познакомить учеников с новыми разделами математики – теорией игр;
- Научить учеников моделировать заданные конфликтные ситуации;
- Научить учеников работать с матрицами 2×2, 2×3, 3×3;
- Научить учеников пользоваться математическим пакетом Maple.
При написании этой курсовой работы я предполагал, что ученики имеют первичные знания по теории игр и математическому пакету Maple.
Занятие №1:Основные понятия Матричных игр
Библиотека «simplex» пакета Maple.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока: Лекция.
Продолжительность: 2 часа.
Цели:1) Повторить основные понятия Матричных игр
2) Сформулировать понятие приемлемой ситуации, ситуации равновесия, равновесия по Нэшу, седловая точка.
3) Изучить новый метод решения матричных игр.
4) Воспитать и привить интерес к предмету.
1 этап: дать краткий обзор понятий о матричных играх.
2 этап: Рассказать о программе Maple и её преимуществах
3 этап: закрепить новый материал и дать домашнее задание.
Ход занятия
На данном занятии мы познакомимся с матричными играми, и математическим пакетом Maple. Матричная игра- это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш первого игрока в виде матрицы, строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, а столбец - номеру применяемой стратегии 2-го игрока; на пересечении строки и столбца матрицы находятся выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).Любая матричная игра имеет решение - доказано.
Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.
Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i=
), 2 – свою j-ю стратегию (j= 
), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij<0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij|). На этом игра заканчивается.Каждая стратегия игрока i= 
; j = часто называется чистой стратегией.
А = 
Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения i (i = ) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2
аij (i = )
т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = iо, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится
аij = 
= 
(1).
Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценойигры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.
Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается
аij
т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит
aij= 
= 
(2).
Число , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценойигры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.
Другими словами, применяя свои чистые стратегии, игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем .
Если в игре с матрицей А = , то говорят, что эта игра имеет седловуюточку в чистых стратегиях и чистую цену игры
= = .
Седловая точка– это пара чистых стратегий (iо,jо) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство = . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:
где i, j– любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо)– стратегии, образующие седловую точку.
Таким образом, исходя из (3), седловой элемент 
является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистымистратегиями соответственно игроков 1 и 2.
Пример 1:
Седловой точкой является пара (iо = 3; jо = 1), при которой = = = 2.
Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 = = , она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.