«Решение: Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевезши козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед затем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно».
Данная задача бессчетное число раз публиковалась в самых различных отечественных газетах, журналах и сборниках. При этом почти во всех работах упоминается только одно решение. А ведь есть и альтернативный путь! И возможно дети начнут именно с него, глядя на иллюстрации.
Вначале крестьянин опять-таки перевозит козу. Но вторым он не обязательно должен забирать волка! Можно взять капусту, отвезти ее на другой берег, оставить там и вернуть на первый берег козу. Затем перевезти на другой берег волка, вернуться за козой и снова отвести ее на другой берег. В этом случае количество рейсов (7) точно такое же, как и в опубликованном выше варианте.
Существование двух решений не отмечено ни в многократных переизданиях книги Е. И. Игнатьева, ни в других самых авторитетных источниках. В их числе: Э. Люкас «Математические развлечения: Приложение арифметики, геометрии и алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и играм», Н. Н. Аменицкий, И. П. Сахаров «Забавная арифметика: Хрестоматия для развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе», В. Арене «Математические игры и развлечения», Б. А. Кордемский «Математическая смекалка» и многочисленные сборники последних лет.
Это тем более удивительно, что наличие двух решений было указано, к примеру, еще в начале 20-х годов XX века в книге В. Литцмана «Веселое и занимательное в фигурах и числах: Математические развлечения», причем довольно подробное. Видимо, многие издатели сочли необязательным приводить оба варианта, ведь они схожи, и являются по сути «зеркальными». Но в книге для детей, особенно младшего возраста, это необходимо, иначе существенно снижается педагогическая ценность задачи!
Любопытно, что Б. А. Кордемский в решении отмечает только второй вариант и по какой-то причине не упоминает первый. Загадка? Загадка.
Очень интересен вопрос о времени возникновения данной головоломки и ее первоисточнике. Б. А. Кордемский в книге «Математическая смекалка» говорит вскользь: «Это... старинная задача; встречается в сочинениях VIII века».
Вначале может показаться, что мы имеем дело с опечаткой, ведь первая или одна из первых отечественных публикаций задачи «Волк, коза и капуста» датирована концом XVIII века. В фондах Российской Исторической библиотеки сохранилась книга «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия». На титульном листе значится: «На ижд. изд. И. Краен ополье кого», что означает «на иждивении издателя И. Краснопольского». В раритете на 62 страницах сорок одна занимательная задача. На с. 42 - 43 находится наша задача.
Далее приводится один вариант решения (первый).
Интересно, что в пособии болгарских авторов «Математический фольклор» задача о волке, козе и капусте помещена в раздел «Из математического фольклора других стран» с пометкой в скобках «Россия».
Вернемся к истории задачи и вопросу: прав ли Б. А. Кордемский, датировав задачу восьмым веком.
По мнению ряда историков, задача имеет западные корни. В. Арене указывает, что авторство хрестоматийной задачи приписывается Алкуину.
В. Литцман, предлагая читателям познакомиться с задачей о переправе в книге «Веселое и занимательное о числах и фигурах», вскользь пишет: «У Алкуина мы находим следующий рассказ».
Что же в наши дни известно об этой незаурядной личности? Алкуин (735-804) был ученым монахом и математиком из Ирландии, автором ряда учебников по математике. Король Карл Великий благоволил к ученым и всячески поощрял развитие наук. За королевским круглым столом нередко проводились состязания в решении хитроумных головоломок, в которых Алкуин имел возможность проявить свои незаурядные способности.
Алкуин основал Палатинскую школу в Туре (созданную для детей Карла V), принимал участие в основании университета в Париже. Добавим, что Алкуин был другом и учителем Карла Великого, его ученым советником.
Из других головоломок Алкуина наибольшую известность получили задачи
1) о гончей и зайце,
2) о покупке свиней,
3) о трех наследниках и 21 бочке,
4) о ста мерах пшеницы,
5) о быке.
Но только головоломка о волке, козе и капусте до сих пор поражает воображение и детей, и взрослых. Эту и некоторые другие задачи Алкуин поместил в свой трактат «Задачи для оттачивания ума юношей», написанный, как было принято в то время, латиницей.
В копии латинского манускрипта под МХУШ легендарная задача. Сразу бросается в глаза, что решение одно - то самое, которое приводится в большинстве пособий. Но сама головоломка имеет иное название: «Задача о человеке, козе и волке»!
Вот уже в нескольких изданиях при объяснении решения данной головоломки авторы делают одну и ту же забавную ошибку. Раскроем на с. 244 пособие Е. А. Латия «365 развивающих игр и затей для маленьких детей», где предлагаемое решение столь фантастично, что его следует воспроизвести дословно: «Разгадка: сперва везут волка и капусту, оставляют капусту на противоположном берегу; везут волка обратно и оставляют на берегу; забирают козу, переправляют на другой берег; там забирают капусту, везут обратно к волку и уже вместе их окончательно перевозят на другой берег».
Если бы волка и капусту можно было везти в лодке одновременно, то переправа завершилась бы гораздо быстрее, чем указано Е. А. Латием (но по условию задачи их нельзя переправлять вместе!) В вышедшей ранее раскраске «Угадай-ка: Выпуск 4» (М: Крона, 1996) волка заменили крокодилом, козу - на пирата Крюка, а капусту - на Питера Пэна, но решение аналогично предыдущему: «Сначала надо перевезти Питера и крокодила...» и т.д. Очевидно, что первоисточник ошибки один и тот же.
Да, еще не все тайны замечательной задачи разгаданы, и не исключено, что лукавая улыбка Алкуина будет преследовать не одно поколение авторов, составителей и читателей.
1.2.2 Из истории задач с одинаковыми цифрами
Первое упоминание о подобных задачах можно найти в отечественной книге «Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером». Символично, что общее количество заданий сборника представляет собой число, состоящее из одинаковых цифр: 111.
В 1844 году книга И. Буттера, включающая те же 111 забавных головоломок, была переиздана. В пособиях XIX века, написанных другими отечественными авторами, аналогичных задач нам пока найти не удалось.
Из зарубежных авторов глубоко исследовал задания с одинаковыми Цифрами Г. Э. Дьюдени. В книге «520 головоломок» он отмечает:
«Меня постоянно спрашивают о старой головоломке «Четыре четвёрки». Я опубликовал её в 1899 г.Формулируется головоломка так:
«Найти все возможные числа, которые можно получить из четырёх четвёрок (не больше и не меньше) с помощью различных арифметических знаков».
Например, число 17 можно представить в виде
4-4 + 4:4
и т. д. Аналогичным образом можно записать все числа до 112 включительно, используя лишь знаки сложения, вычитания, умножения, деления.
В задаче «Двадцать четыре» Г. Э. Дьюдени указывает: «В одной книге было написано:
«Запишите число 24 с помощью трёх одинаковых цифр, отличных от 8.»
Там же приводился ответ:
22 + 2 = 24.
Теперь рассмотрим наиболее интересные задачи с одинаковыми цифрами, опубликованные в отечественных изданиях XX столетия. Самым примечательным трудом начала прошлого века стал трёхтомник Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы».
В «Книге 2» заданиям с одинаковым цифрами отведён целый раздел, названный «Новый род задач». В ней приведено пять головоломок, которые с той поры кочуют из сборника в сборник. Снова цитируем Е. И. Игнатьева:
«Задача 47-я. Написать 2 тремя пятёрками». Один из двух ответов: (5+5): 5.
«Задача 48-я. Написать 5 тремя пятёрками».
Из десяти ответов два отвечают рассматриваемой тематике:
5+ 5-5 и 5*(5: 5).
К ответам Е. И. Игнатьева можно добавить также такие решения:
5:(5:5)и5-(5-5).
«Задача 49-я. Написать 31 пятью тройками. Решение,
Эта задача гораздо сложнее предыдущих. Она не нова, и обыкновенно считают, что она имеет всего три решения». В ряду предложенных ответов:
33-3 + 3 :ЗиЗЗ-(3 + 3):3.
Хотя Е. И. Игнатьев и озаглавил раздел «Новый род задач», он признал, что «Задача 49» была известна ранее. Интересно, отечественных или зарубежных предшественников имел в виду автор? Во многих других работах отечественных математиков конца XIX - начала XX веков задачи с одинаковыми цифрами не упоминаются. Например, в книгах С. А. Рачинского «1001 задача для умственного счета: Пособие для учителей сельских школ», Д. Н. Горячева, А. М. Воронца «Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики».
Вскоре после выхода в свет книг Е. И. Игнатьева головоломки с цифрами стали популярны в России и появились на страницах пособий многих авторов и составителей. В их числе Н. Н. Аменицкий и И.П. Сахаров, написавшие книгу «Забавная арифметика: Хрестоматия для развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе». Если в первом издании хрестоматии задачи с одинаковыми цифрами отсутствовали, то уже в следующем - расширенном, вышедшем в трёх выпусках, и всех последующих они появились. Приведём цифровые головоломки по третьему изданию, не отличающемуся от второго:
10. а) Постарайтесь изобразить число 31 при помощи шести (или пяти) троек.
б) Изобразите число 100 при помощи четырёх одинаковых цифр» Вот какие ответы даны в этой книге: 10. а) 3 • 3 • 3 + 3 + 3 : 3; 33 - 3 + 3 : 3 и 33 - (3 + 3): 3.
6) 99 + 9 : 9.
Обратите внимание на то, что в задаче 10.а), в отличие от книги Е. И. Игнатьева, требуется изобразить число 31 не только пятью, но и шестью тройками, а в ответе на головоломку 10.6), в отличие от книги И. Буттера, после числа 99 стоит знак «плюс».