Задания из трёхтомника Е. И. Игнатьева использовал и А. В. Сатаров в четырёх брошюрах, вышедших под общим названием «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях». В «Книге второй» автор поместил три задачи с одинаковыми цифрами: «14. Напишите 2 тремя пятёрками.
15. Напишите 5 тремя пятёрками;
16. Как изобразить 31 пятью тройками?»
А в «Книге третьей» А. В.Сатаров привёл ещё одно задание:
«Напишите число 100 четырьмя одинаковыми цифрами».
При этом, как А. В. Сатаров, так и Н. Н. Аменицкий с И. П. Сахаровым
в ответах использовали только действия сложения, вычитания, умножения и
деления.
1.2.3 Из истории головоломок с неповторяющимися цифрами
Задачи с неповторяющимися цифрами встречаем в замечательном отечественном трёхтомнике Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы». В «Книге 1» приведена:
«Задача 32-я: Написать число 100 посредством девяти различных значащих цифр».
56 + 8 + 4 + 3 = 71+29=100».
Здесь Е. И. Игнатьев разъясняет: «Как видим, в предпоследнем решении допущен некоторый «фокус». Сначала из шести разных цифр составлено три числа, дающих в сумме 98 - число, опять-таки составленное из двух новых цифр, и к нему прибавляется число, изображённое недостающей цифрой 2. В сумме получается требуемое число 100. Подобно же составлено и последнее решение».
Интересно, что почти такую же задачу приводит И. Я. Герд в «Сборнике игр и полезных занятий для детей всех возрастов с предисловием для родителей и воспитателей», раздел «Задачи»:
«17. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 такие числа, чтобы через сложение получить ровно 100».
При этом в ответе приводится только одно решение, немного отличающееся от указанных Е. И. Игнатьевым:
15 + 36 + 47-98 + 2=100.
Нетрудно найти и другие решения с «фокусом» помимо тех, которые присутствуют в пособиях Е. И. Игнатьева и И.Я. Герда:
73 + 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2= 100;
70 + 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2= 100;
53 + 8 + 4 + 6 = 71+29=100;
45 + 37+ 16 = 98 + 2= 100;
58 + 3 + 4 + 6 = 71+ 29=100;
47 + 36+15=98 + 2= 100 и т. п.
Еще раньше головоломку о числе 100 привёл классик занимательной математики американец С. Лойд, в его книге «Математическая мозаика».
Как видно, ответы на заинтересовавшие головоломки из книг Е. И. Игнатьева и С. Лойда либо очень сложны, либо не вполне корректны.
Целям книги И.Г. Сухина «Занимательные материалы» больше соответствует задание, которое привёл А. В. Сатаров в четырёхтомнике «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях». В «Книге второй» он опубликовал следующую задачу: «11. Составьте из первых семи цифр: 1,2, 3,4,5,6,7 такие четыре числа, чтобы при сложении их получить ровно 100; при этом брать какую-либо цифру два или три раза нельзя. Ответ: Числа, удовлетворяющие условиям задачи, таковы: 2, 15, 36, 47. Действительно: 2 + 15 + 36 + 47 = 100. Возможны и другие решения, например: 2+ 17 + 35 + 46=100». В данной задаче очень много решений. Вот ещё некоторые из них:
5 + 12 + 37 + 46; 6+ 15 + 32 + 47; 7+ 16 + 35+42.
Очевидно, что иные решения легко получить перестановкой цифр в слагаемых (т. е. вместо 35 + 42 можно написать 32 + 45 и т. д.).
1.2.4 Из истории задач о переливании жидкостей
Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела «Дележи», причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда в сосуд.
К сожалению, большинство подобных старинных головоломок сложны, и поэтому не подходят для начальной школы. Как это ни удивительно, но в отечественных учебных пособиях сравнительно простых заданий данного класса практически нет. А ведь не подлежит сомнению, что они помогут детям в занимательной форме быстрее освоить действия сложения, вычитания и попрактиковаться в комбинаторике.
Лишь одну доступную детям младшего школьного возраста задачу находим в пособии для учителей М. Б. Балка «Организация и содержание внеклассных занятий по математике»:
«Имея 2 бидона на 4 и 5л, можно ли налить из водопроводного крана в ведро 3 л. воды? (Ёмкость ведра не меньше 3 л.) Ответ: можно».
Быстрейшим путём задача решается так: Заполняется водой четырёхлитровый бидон, затем вода переливается в пятилитровый, снова вода доверху наливается в меньшую ёмкость, и из меньшей 1 л отливается в большую. В результате в четырёхлитровом бидоне будет 3 литра воды.
Ещё две «водяные» головоломки приводятся в разделе «Задачи-смекалки» пособия для учителей 1-11 классов А. А. Свечникова и П. И. Сорокина «Числа, фигуры, задачи во внеклассной работе»:
«111. Как набрать из водопровода 6л воды, пользуясь двухлитровой банкой и чайником, в который входит 5л?
Решение: Напиваем в банку 2 раза по 2 л и переливаем в чайник, затем ещё раз напиваем в банку 2 л.
136. Как имея банку вместимостью 4 л и бидон -9 л, набрать из реки точно 7 л воды?»
Оптимальное решение второй задачи в пособии не даётся. Вот оно: Два раза заполняем банку водой и переливаем по 4 л воды из банки в бидон, снова наполняем банку и добавляем 1 л из неё в бидон, после этого все 9 л воды из чайника выливаем в раковину, и в бидон переливаем оставшиеся в банке 3 л, снова заполняем четырёхлитровую банку водой из реки и получаем требуемые (суммарные)
7л = Зл + 4л.
Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей, которые можно использовать при изучении темы «Величины» в начальной школе. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней:
«В одном средневековом сочинении восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже посла! за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж: при помощи этих трёх сосудов?».
Приведём ход кратчайшего решения, включающего 7 операций переливания, обозначив «трёхмерный» сосуд, как первый, «пятимерный» назовём вторым, а «восьмимерный» — третьим.
Итак: 1. Из третьего во второй отливаем 5 мер.
2. Из второго в первый -— 3 меры.
3. Из первого в третий переливаем 3 миры.
4. Из второго в первый — 2 меры.
5. Из третьего во второй — 5 мер.
6. Из второго в первый — 1 меру.
7. Из первого в третий — 3 меры.
В результате во втором и третьем сосудах получается по 4 меры вина. Широкую известность эта задача получила после публикации двумя изданиями сочинения К. Баше «Игры и задачи, основанные на математике». На русском языке книга К.Баше была издана лишь в 19-м веке, да и то в сокращенном виде.
Безусловно, и до 1877 года задача о сосудах встречалась на страницах отечественных книг. Указанную головоломку встречаем в сочинении «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия». Задача №24 имеет следующий вид:
«Сосуд, наполненный восьмью кружками вина, разлить без меры на две равные части по сосудам, из коих в один входит 5 кружек вина, а в другой 3».
Эту задачу можно включать при введении понятия «меры».
Немного позднее задачу привели в книге «Библиотека учёная, экономическая, нравоучительная, историческая и увеселительная в пользу и удовольствие всякого звания читателей: Часть I». В разделе «Математические и физические увеселения на стр. 261 читаем:
«Некто, имея бутыль, наполненную 8 галенками хорошего вина...» и т.д.
Данная задача есть и в книге И. Буттера «Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером». Усложнённые варианты головоломки находим в задачах №№ 18-22.
Публиковались ли в старину более простые задачи данной тематики? Ответ на этот вопрос проливают следующие строки из работы У. Болла и Г. Коксетера «Математические эссе и развлечения»:
«...Упомянем ещё несколько задач, которые веками входили в почти каждое собрание математических развлечений... Первый пример даёт хорошее представление о целом классе подобных задач. Некто отправился к источнику за водой с двумя кувшинами ёмкостью в 3 и 5 пинт. Как сможет он принести домой ровно 4 пинты воды? Решение здесь не составляет никакого труда».
Решение задачи в книге не приводится. С помощью наименьшего количества переливаний цели можно добиться следующим образом: Заполняется водой из источника больший кувшин, Зл из него переливаются в меньший и выливаются. 2л воды, оставшиеся в пятилитровом сосуде, перемещаются в трёхлитровый. Больший кувшин вновь наполняется водой из источника, 1л из него отливается в меньший кувшин. Теперь в пятилитровом сосуде находится ровно 4л воды.
Отметим, что именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. В задаче, предложенной юному Пуассону, ёмкость сосудов в отличие от хрестоматийной задачи составляла не 3, 5, 8 (мер), а 5, 8. 12 (пинт; пинта — мера жидкости):
«Некто имеет двенадцать пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два сосуда, один в 8, другой в 5 пинт; спрашивается: каким образом налить шесть пинт в сосуд в восемь пинт».
Быть может в школе учится будущий выдающийся математик и предложит свое решение.
Таким образом, видно насколько долог и тернист был путь многих задач прежде, чем они дошли до наших дней. И насколько кропотлив и трудоемок был труд тех людей, тех ученых, которые искали новые более рациональные решения этим задачам, которые несомненно активизируют деятельность детей в процессе решения задач.
Из выше приведенных примеров задач историко-математического характера можно сделать вывод, что исторические задачи сейчас используются как логические задачи. В свою же очередь задачи с историческим содержанием делятся на типовые стандартные и нестандартные, которые можно применять на уроках при изучении различных тем, касающихся величин, математических понятий и способов арифметических действий.