Элементы истории математики при преподавании темы "Тригонометрия" в общеобразовательной школе (стр. 5 из 8)

Свой современный вид сферическая тригонометрия, как и тригонометрия, приняла в трудах великого Леонарда Эйлера, уроженца Базеля, работавшего в Петербурге и Берлине. Если до Эйлера тригонометрия имела дело со значениями тригонометрических функций, то тригонометрия Эйлера имеет дело с тригонометрическими функциями, которые он связал с помощью известной формулы, носящей его имя, с экспоненциальной функцией благодаря этому из тригонометрических формул исчез sinus totus полный (наибольший) синус, т. е. радиус круга, место которого в этих формулах теперь заняла единица. Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое выражение.

Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как безмерные числа, называя их общим термином: «трансцендентные количества, получающиеся из круга». Эйлер ввел в тригонометрию символику, практически совпадающую с привычной для нас, получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщенную формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики (тупые углы не имеют функций и т.п.). Тем самым в развитии тригонометрии был сделан очень важный шаг. Тригонометрические функции оказались просто одним из классов аналитических функций.

Примерно в то же время, в 1770 г., появился и удержался до нашего времени термин «тригонометрические функции». Его ввел Г.С. Клюгель в работе «Аналитическая тригонометрия» Эти функции сразу получили широкое применение и стали важной частью аппарата математического анализа. Почти одновременно тригонометрия стала применяться в традиционной области ее использования, в геометрии. Таким образом, к XIX в. тригонометрия, не теряя теоретической целостности, приобрела разнообразные интерпретации, проникла во многие разделы математики.

В современной структуре математических наук тригонометрия определяется как та их часть, где исследуют один из классов аналитических функций, называемых тригонометрическими, а также их приложения. Эти функции чаще всего вводятся с помощью специальной конструкции - порождающей окружности. В качестве своих аргументов они могут иметь как действительные, так и комплексные величины, что придает им высокую степень общности. Их специфические свойства: периодичность, четность или нечетность и др. позволяют с помощью формул (например, формул приведения) существенно упрощать и облегчать операции с ними.

2.3 История преподавания тригонометрии в школе

Проблема преподавания тригонометрии, как и математики в целом, могла быть решена лишь при условии освоения достижений мировой математической науки. В России этому немало способствовал Л. Эйлер, являясь почетным членом Санкт- Петербургской Академии Наук. Тригонометрические исследования Эйлера явились основой первого русского учебника по тригонометрии, коим являлась книга М.Е. Головина «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789г.).

Однако согласно программам 1804г., которые своим названием «Математика чистая и прикладная, и физика» подчеркивали направление преподавания, перед тригонометрией ставилась определенная цель - решение треугольников. Ярым противником формальной школы был М.В. Остроградский. В своем конспекте по тригонометрии он выступает как сторонник определения тригонометрических функций на первом этапе их изучения как отношения сторон в прямоугольном треугольнике, но с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой величины.

Реформы графа Д. Толстого (см. приложение) отражаются и на изложении тригонометрии. 3-е издание учебника Ф. Семашко появляется в 1886 г., в момент рассвета «толстовской» школы. В предисловии автор пишет: «В настоящее время программы всех учебных заведений требуют рассмотрения тригонометрических величин из круга; согласно этим программам я переделал теоретическую часть науки». Комиссия преподавателей средних школ высказалась по этому вопросу следующим образом:

«1. В курсе тригонометрии необходимо изучать теорию круговых функций с применением ее к решению треугольников; ни в коем случае не ограничивать курс решением треугольников.

2. Приложения тригонометрии к геодезии не считать необходимым».

Министерство народного просвещения очень быстро откликнулось на это постановление. Но, таким образом, тригонометрия вступила на путь формального изложения, которое характеризуется следующими особенностями: отсутствием пропедевтического курса; определением тригонометрических функций как отношений «тригонометрических линий» к радиусу; недостаточным использованием понятия функциональной зависимости и, в частности, изучением изменений тригонометрических функций в без применения их графиков неудовлетворительным развитием теории функций.

Под влиянием общественного мнения в 1906 г. изменена программа курса тригонометрии, основная идея которой используется и в наши дни. Тригонометрия была разделена на два концентра. Первый концентр (6 кл.) содержал материал, необходимый для решения прямоугольных и косоугольных треугольников с помощью таблиц тригонометрических величин. Второй концентр (7 кл.) давал теорию гониометрических функций (включая понятия об обратных функциях), тригонометрические уравнения и неравенства, необходимые для приближенного вычисления значений тригонометрических функций.

В связи с построением пропедевтического курса пересматривается вопрос об определениях тригонометрических функций. На первом этапе вводятся определения синуса, косинуса и тангенса через стороны прямоугольного треугольника. Во второй части широко используются графики тригонометрических функций, подробно рассматривается вопрос о вычислении приближенных значений функций и о составлении таблиц. Таким образом, преподавание тригонометрии приобретало новое направление, теоретически более обоснованное и рассчитанное на более широкое использование приложений.

В настоящее время тригонометрию изучают в старших классах школы. Материал соответственно разделен на три части, которые изучаются в разные периоды времени обучения. Впервые тригонометрические выражения появляются в курсе планиметрии, после теоремы Пифагора или непосредственно перед ней. Используются они преимущественно для решения плоских треугольников. При этом отрабатываются первоначальные навыки работы с таблицами тригонометрических функций. Ученики усваивают определения синуса, косинуса и тангенса острого угла.

Во второй раз тригонометрические функции определяются с помощью производящей окружности. Постепенно переходят к рассмотрению тригонометрических функций любого аргумента, выраженного в радианах, и соотношений между ними. Школьников обучают строить графики функций, рассматриваются некоторые свойства.

В третьей части изучаются решения тригонометрических уравнений и неравенств. Рассматривается приложение тригонометрических функций в физике при изучении гармонических колебаниях.

Глава 3. Использование историко-научного материала при преподавании тригонометрии

3.1 Формы использования исторического материала при преподавании на уроках

Говоря о формах изложения учащимся исторического материала, следует отметить, что нет и не может быть единого правила, руководствуясь, которым можно было бы ознакомить с элементами истории математики учащихся всех возрастов и классов. Форма изложения учащимся исторического материала в школе, в первую очередь, зависит от возрастных психологических особенностей учащихся. Основная форма введения исторического материала на уроках математики представляет собой сообщение о исторических сведениях. Не на каждом уроке, но все же достаточно часто и систематически следует делать исторические отступления и сравнения, а также приводить примеры решения исторических задач.

Необходимо упоминание о том, что приемы решения треугольников, конечно без соответствующих понятий и названий, встречались уже в древнейших цивилизациях. В качестве примеров здесь можно приводить задачи, связанные с солнечными часами и гомонами. Приведем вариант объяснения этих задач на уроке.

«Ученики, исторически тригонометрия изначально была теснее всего связана с астрономией, в которую долгое время входила в качестве самостоятельного раздела. Задачи, теперь относящиеся к геометрии, встречаются довольно рано в математике разных цивилизаций. Например, в Вавилоне не позднее второго века до н.э. решалась, следующая задача: Вычислить длину хорды S круга, исходя из величины диаметра d и высоты а сегмента, отсеченного этой хордой (рис.1). Задачи такого типа были связаны с использованием солнечных часов, основным элементом которых был так называемый гномон. При решении этой задачи использовали соотношение сторон прямоугольного треугольника, позднее получившее название теоремы Пифагора:

Древние вавилоняне умели вычислять высоту предмета по известной длине его тени. И в Египте и в Вавилоне пользовались гномоном для наблюдения за движением Солнца. Гномон - это вертикальный шест, который устанавливали на ровной горизонтальной площадке. Длина тени, отбрасываемая шестом, зависит от положения солнца и меняется в течение дня. Самой длинной тень будет в момент восхода Солнца. В полдень, когда длина тени наименьшая, ее направление совпадает с направлением истинного меридиана. Используя гномон, в древности решали многие практические задачи. Одной из них, была следующая: если L -длина гномона, то по длине l, отбрасываемой им в данный момент, определить угловую высоту h солнца над горизонтом.