Мышление представляет собой опосредованное сознание, то есть, например, мы не видели, как решали задачу и получили ответ, но мы видим решение и ответ, значит, мы делаем вывод, что задача решена. Или, например, человек, сидящий в комнате, хочет узнать, какова температура снаружи. Для этого есть разные возможности — почувствовать эту температуру своим кожным анализатором непосредственно (выйдя на улицу) или посмотреть на термометр, прикрепленный снаружи у окна. В последнем случае человек о температуре узнает опосредованно. Воспринимая одно, человек судит о другом. Иначе говоря, опосредованное познание предмета или явления осуществляется посредством восприятия другого предмета или явления, закономерно связанного с первым.
Вообще говоря, мы мыслим с помощью понятия явлений окружающего мира. Возникает понятийное мышление не сразу, а появляется только к 13-15 годам. Значит, у подростков оно находится на стадии развития, и этому виду мышления надо уделять огромную роль. В качестве средств понимания многие исследователи предлагают использовать определённую организацию учебного материала: индивидуальные задания; различные интерпретации, раскрывающие смысл понятия; перевод с одного языка на другой (с русского на язык математики, то есть язык символов); системы вопросов; диалог и др.
Подростки в основном находятся на эмпирическом уровне мышления, они практически не задают вопросов учителю, отвечают формально, заученно. Возраст учеников таков, что они часто слушают и даже внимательно, но не слышат, не могут самостоятельно увидеть проблему, и организовать полноценный диалог становится проблематичным.
Учитывая специфику школьного предмета математики: высокую абстрактность его понятий, которая выражается в преобладании синтаксиса изложения (формы) в ущерб семантике, большую роль для организации обучения, нацеленного на понимание (в узком смысле), имеют два фактора - содержательный анализ учебного материала и диалог. Умение проводить содержательный анализ составляет первый уровень теоретического мышления - аналитический. Он состоит в умении находить закономерные связи, внутренние отношения, то есть раскрывать сущность вещей, закономерности их развития, выделять генетическую основу рассматриваемых объектов, устанавливать связи единичных явлений внутри некоторого целого.
Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди, но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которую надо решить, с осознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить.
§2. Текстовые задачи в обучении математике
1. Место и роль текстовых задач в курсе алгебры современной школы
Обучение математике через решение задач означает такую организацию учебного процесса, при которой через задачи, через их решение реализуется триединая цель обучения (обучающая, развивающая и воспитательная цели).
Под обучающей функцией, понимаются те задачи которые направлены на формирование у школьников системы знаний, умений и навыков. Эти знания, умения и навыки могут быть предусмотрены программой или служить ее расширению и углублению на различных этапах ее усвоения.
Под воспитательными функциями задач понимают:
1) возбуждение и поддержание интереса к математике;
2) воспитание у школьников ответственного отношения к математике;
3) воспитание потребности умения учится математике.
Развивающие функции задач:
1) формирование умений эффективно в изучении математики при использовании методов научного познания, такие как: наблюдение, сравнение, противопоставление, анализ, синтез, обобщение и др.;
2) овладение элементарной логической грамотностью;
3) овладение умением выполнять умозаключения индуктивного и дедуктивного характера;
4) умение правильно ставить мыслительный и/или практический опыт, выдвигать гипотезы, проверять их;
5) умение осуществлять выбор средств и методов для достижения поставленной цели, учитывая конкретные условия;
6) умение переводить простейшие ситуации жизненного характера на математический язык.
В соответствии с этим задачи в процессе обучения выступают как средство организации и управления учебно-познавательной деятельностью школьников на различных ее этапах: репродукция, эвристика, исследование.
Задачи играют большую роль и в формировании мышления. Советский психолог О.К. Тихомиров так охарактеризовал связи между решением задач и мышлением «мышление психологически выступает как деятельность по решению задач».[6] Таким образом, можно утверждать, что решение текстовых задач позволяет более эффективно формировать мышление школьников.
Задачи в школьном курсе также выступают как средство связи теории с практикой, что соответствует одному из дидактических принципов обучения, а именно принципу прикладной направленности обучения.
Каждая задача в определенном месте учебного процесса может выполнять различные функции. Например, одна и также задача может выполнять функцию мотивации при введении нового математического понятия. Также эта задача может служить демонстрацией логики рассуждений и образцом оформления условия и решения. Эту же задачу можно применять для отработки навыка в решении задач под руководством учителя, а также при самостоятельном решении ее учеником. Задача может нести функции контроля знаний и умений. Задача может развивать творчество учащихся, если задача предполагает несколько способов решения.
2. Этапы решения текстовой задачи
В школьном образовании текстовые задачи всегда занимали особое место. Ещё задолго до нашей эры в Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии были известны разнообразные методы решения текстовых задач.
Текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики. [4; 7] Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи. Задачи в обучении выступают в процессе обучения и средством стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности школьников. В своей работе мы рассматриваем текстовые задачи, которые могут способствовать активизации познавательной деятельности учащихся на уроке, для этого были подобраны задачи с необычным содержанием, задачи в стихах, нестандартные методы решения задач.
Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический и др.
Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. [4; 14]
Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений, в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми. [4; 15]
Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. [4; 15]
Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание». [4;16]
Решение любой текстовой задачи состоит из нескольких этапов: [4]
1. Анализ содержания задачи.
2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.
3. Осуществление плана решения задачи.
4. Проверка решения задачи.
5. Формулировка окончательного ответа на вопрос задачи.
6. Дополнительная работа над решенной задачей.
Рассмотрим некоторые этапы решения задачи.
1. Анализ содержания задачи.
Основная цель ученика на первом этапе — это понять задачу. Ученик должен четко представить себе: о чем эта задача? Что в задаче известно? Что нужно найти? Как связаны между собой данные (числа, величины, значения величин)? Какими отношениями связаны данные и неизвестные, данные и искомое? Что является искомым: число, отношение, некоторое утверждение?
Можно выделить следующие возможные приемы выполнения первого этапа решения текстовой задачи.
1. Представление жизненной ситуации, описанной в задаче, мысленное участие в ней. С этой целью полезно после чтения задачи предложить учащимся представить себе то, о чем говорится в задаче, и предложить нарисовать словесную картинку.
2. Разбиение текста на смысловые части и выделение на этой основе необходимой для поиска решения информации.
Например: «Один человек выпьет кадь пития в 14 дней,а с женою ту же кадь в 10 дней.И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь?»
3. Переформулировка текста задачи: замена описания данной в ней ситуации другой, сохраняющей все отношения и зависимости и их количественные характеристики, но более явно их выражающие.